임의의 양의 정수 $k \in \N$에 대하여, $1$부터 $k$ 까지의 모든 정수를 각각 세제곱하여 더한 것은, 이 정수들을 모두 더한 뒤 제곱을 한 것과 같다는 사실이 잘 알려져 있다. 이를 수식으로 나타내면 \[ 1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = (1 + 2 + \cdots + k)^2 \tag*{$\myblue{(1)}$} \] 으로 나타낼 수 있는데, 이 사실은 수학적귀납법등을 이용하여 간단히 증명할 수 있다.
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한 편, 양의 정수 $12$에 대하여 다음과 같은 계산을 해보자. 우선 $12$의 (양의) 약수는 $1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 6,\ 12$의 총 여섯개가 있다. 이제 $12$의 각각의 약수의 약수의 개수를 세어보자. 그러면 $1$의 약수의 개수는 $1$개, $2$의 약수의 개수는 $2$개, $3$의 약수의 개수는 $2$개, $4$의 약수의 개수는 $3$개, $6$의 약수의 개수는 $4$개, 마지막으로 $12$의 약수의 개수는 $6$개 이다. 따라서 $12$의 약수들의 약수의 개수를 (크기순으로 재배열하여) 순서쌍으로 나타내면 $(1,\, 2,\, 2,\, 3,\, 4,\, 6)$을 얻는다. 그러면 이 순서쌍에 대하여 다음과 같은 결과를 얻는다. \[ 1^3 + 2^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 6^3 = 324 = 18^2 = (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 6)^2. \] 즉, $12$의 모든 약수들의 약수의 개수를 세제곱하여 합한 것은, 이 개수들을 합한 뒤에 제곱한 값과 같게 된다. 놀랍게도 이 사실은 $12$가 가지는 특별한 성질이 아니라 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 성립하는 사실인데, 이번 글에서는 프랑스의 수학자 리우빌(Joseph Liouville)이 발견하고 증명한 이 사실을 증명해 보고자 한다.
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양의 정수 위에서 정의된 함수 $f : \N \to \R$를 산술함수(arithematic function)이라 부른다. 산술함수 $f$가 임의의 양의 정수 $m,\, n \in \N$에 대하여, $\gcd(m,\, n) = 0$일 때마다 $f(mn) = f(m)f(n)$을 만족하는 경우, $f$를 곱셈적함수(multiplicative function)라 한다. 한 편, ($\gcd(m,\, n) = 0$이라는 조건 없이) $f(mn) = f(m)f(n)$가 성립하면, $f$는 완전곱셈적함수(completely multiplicative function)라 불린다. 따라서 모든 완전곱셈적함수는 곱셈적이지만, 일반적으로 역은 성립하지 않는다.
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이제 주어진 양의 정수 $n \in N$의 소인수분해가 $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$와 같이 주어졌다고 가정하자. 만약 산술함수 $f$가 곱셈적이라면 \[ f(n) = f(p_1^{e_1}) f(p_2^{e_2}) \cdots f(p_k^{e_k}) \] 가 성립하고, 나아가 $f$가 완전곱셈적이라면 \[ f(n) = f(p_1)^{e_1} f(p_2)^{e_2} \cdots f(p_k)^{e_k} \] 가 성립함을 알 수 있다. 따라서 산술함수 $f$가 곱셈적 또는 완전곱셈적이라면 주어진 $n$의 소인수분해를 이용하여 $f(n)$의 값을 구할 수 있다.
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아래 두 정리는 주어진 곱셈적함수 $f$로 부터 또 다른 곱셈적함수를 생성하는 방법을 보여준다.
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증명. $\gcd(m,\, n) = 1$을 만족하는 임의의 양의 실수 $m,\, n \in \N$에 대하여, \[ g(mn) = f(mn)^k = [ f(m) f(n) ]^k = f(m)^k f(n)^k = g(m) g(n) \] 이므로 주어진 정리가 성립한다.
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증명. $m,\, n \in \N$이 $\gcd(m,\, n) = 1$을 만족한다고 하자. 그러면 $mn$의 모든 약수 $d$는 $m$의 약수 $d_1$과 $n$의 약수 $d_2$에 대하여, $d = d_1d_2$로 표현이 가능하고, 역으로 임의의 $d_1 \mid m,\, d_2 \mid n$에 대하여 $d_1d_2 \mid mn$이 성립한다. 한편, $f$는 곱셈적함수이므로 \[ \begin{align*} F(mn) & = \sum_{d \,\mid\, mn} f(d) = \sum_{d_1 \mid\, m,\, d_2 \mid\, n} f(d_1d_2) = \sum_{d_1 \mid\, m,\, d_2 \mid\, n} f(d_1)f(d_2) \\[5px] & = \bigg( \sum_{d_1 \mid\, m} f(d_1) \bigg) \bigg( \sum_{d_2 \mid\, n} f(d_2) \bigg) = F(m) F(n) \end{align*} \] 가 성립함을 알 수 있다.
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임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $\tau(n)$을 $n$의 (양의) 약수의 개수로 정의하자. 예를 들어 $12$의 약수는 $1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 6,\, 12$이므로 $\tau(12) = 6$을 얻는다. 이 함수가 곱셈적함수임음 정리 1을 이용하면 간단히 보일 수 있다. 모든 양의 정수 $n$을 $1$로 보내는 산술함수 $i : \N \to \R$, $i(n) = 1$을 생각해 보면, 이 함수는 자명하게 (완전)곱셈적함수임을 알 수 있다. 한 편, \[ \tau(n) = \sum_{d \,\mid\, n} i(n) \] 이 성립하므로, 정리 2에 의해 $\tau$ 또한 곱셈적함수이다.
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증명. 먼저 $n$이 소수의 거듭제곱꼴일 때, 즉 $n = p^k$과 같은 형태일 때, 식 $\myblue{(2)}$가 성립함을 증명해 보자. 이 경우 $p^k$의 (양의) 약수는 $1,\, p,\, p^2,\, \ldots,\, p^k$이므로 \[ \big( \tau(1),\, \tau(p),\, \tau(p^2),\, \ldots,\, \tau(p^k) \big) = (1,\, 2,\, 3,\, \ldots,\, k+1) \] 가 되어 우리가 앞서 살펴 보았던 식 $\myblue{(1)}$을 얻게 되고, 따라서 식 $\myblue{(2)}$가 성립한다.
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이제 다음과 같이 함수 $F$와 $G$를 정의하자. \[ F(n) := \sum_{d \,\mid\, n} \tau(d)^{3}, \quad G(n) := \bigg( \sum_{d \,\mid\, n} \tau(d) \bigg)^{\!2} \] 그러면 정리 1과 정리 2에 의해 $F$와 $G$ 모두 곱셈적함수임을 알 수 있다. 한 편, 앞서서 $n = p^k$ 꼴일 때, $F(p^k) = G(p^k)$가 성립함을 확인했으므로, 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 식 $\myblue{(2)}$가 성립한다.$ $