이번 글에서는 저번 글 피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1 에서 증명한 피보나치/루카스 수열과 삼각함수와의 관계를 다시 한 번 정리하면 다음과 같다: 임의의 음이 아닌 정수 $n \in... Read more »
피보나치 수열(Fibonacci sequence)은 $F_{0} = 0$, $F_{1} = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$으로 정의된 대중적으로 가장 잘 알려진 수열 중 하나이다. 이 수열에 대한 성질에 대하여 몇 개의 글을... Read more »
이전 글에서 특수한 형태의 무한급수 (다항함수를 지수함수 또는 계승함수로 나눈 꼴의 무한급수) 의 값을 계산하는 일반적인 방법에 대하여 알아보았다. 다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값 다항함수/계승함수 형태로 이루어진 무한급수의 값 위... Read more »
예전에 "이항계수(binomial coefficient)들의 산술평균과 기하평균"이라는 주제로 글을 올린 적이 있다. 이번에는 이 주제를 좀 더 확장하여 이항계수들의 조화평균(harmonic mean) $H_n$과 이차평균(quadratic mean) $Q_n$에 대해서 생각해 보자. 여기서 $H_n$과 $Q_n$은 다음과... Read more »
분할(partition)이란 주어진 양의 정수를 양의 정수들의 합으로 표현하는 방법을 연구하는 정수론 또는 조합론의 한 하위 분야이다. 양의 정수 $n$이 주어졌다고 하자. 그러면 $n$에 대한 분할수(partition number) $p(n)$은 $n$을 양의 정수들의... Read more »
1. 카탈란 수의 정의 및 응용 $n$번째 카탈란 수(Catalan number) $C_n$이란 아래의 점화식을 만족하는 수열의 $n$번째 항을 말한다. \[ C_0 = 1, \quad C_n = \sum_{i=0}^{n} C_i C_{n-i}, \ n... Read more »
식 $(x+y)^n$을 전개하여 각 항의 계수를 적으면 아래와 같이 이항계수(binomial coefficient)가 나타난다. \[ \binom{n}{0},\; \binom{n}{1},\; \cdots,\; \binom{n}{n}. \] 이제 위 이항계수들의 산술평균(arithmetic mean)과 기하평균(geometric mean)을 각각 $A_n$, $G_n$이라 하자. 다시... Read more »
이번 글에서는 몇 가지 조합 항등식(combination identity)들을 대수적인 방법이나 기타 다른 방법을 이용하지 않고 오직 조합론적 증명(combinatorial proof) 방법만을 이용하여 증명하려고 한다. 모든 증명은 기본적인 Double counting (한가지 대상을 두가지... Read more »