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확장된 코시-슈바르츠 부등식(extended Cauchy-Schwarz inequality)

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$\newcommand{\bfx}{\mathbf{x}} \newcommand{\bfy}{\mathbf{y}}$코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)은 임의의 내적공간에서 성립하는 다음의 부등식이다. 임의의 $\bfx, \bfy \in V$에 대하여 \[ \abs{\ip{\bfx}{\bfy}}^2 \leq \norm{\vphantom{y}\bfx}^2 \norm{\bfy}^2. \] 특히 $V = \C^n$인 경우 (일반적으로 $V$가 유한차원인 경우),... Read more »

티투의 보조정리(Titu's lemma)

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티투의 보조정리(Titu's lemma)는 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)을 활용하여 여러 분수 형태의 합을 간결하게 비교할 수 있게 해 주는 유용한 부등식이다. $ $ 정리. 티투의 보조정리(Titu's lemma) 양의 실수 $a_1, a_2, \ldots,... Read more »

7의 배수 판정법(divisibility rule) 총정리

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$\DeclareMathOperator{\rem}{rem}$배수 판정법(divisibility rule)은 주어진 정수 $N$이 또 다른 정수 $m$ 배수인지의 여부를 간단히 확인하는 일련의 절차를 말한다. 일반적으로 배수 판정법은 정수론의 다양한 결과를 이용함으로써 $N$보다 훨씬 작은 수가 $m$의 배수인지를... Read more »

다항함수/계승함수 형태로 이루어진 무한급수의 값

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이전 글 다항함수/지수함수 형태로 이루어진 된 무한급수의 값 에서 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 생각해 보았다. 이번에는 다음과 같이 \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3... Read more »

다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값

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이번 글에서는 다음과 같이 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수들 \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2-3n+2}{4^{n+1}}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-2)^3}{(-3)^n} ,\, \ldots \] 의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 알아볼 것이다. 이를... Read more »

피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 역코탄젠트(arccotangent) 함수

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다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 \[ F_{0} = 0,\, F_{1} = 1,\, F_{n+1} = F_{n} + F_{n-1} \, (n \geq 1) \] 을 피보나치 수열(Fibonacci sequence)이라 한다. 이번 글에서는 카시니... Read more »

유리수를 나열하는 다른 방법 - Calkin-Wilf 나무 그래프(tree graph)

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유리수의 집합 $\Q$가 셀수 있는 집합임을 잘 알려져 있다. 이를 다시 표현하면 "모든 유리수를 단 한번씩 포함하는 수열"을 구성하는 것이 가능하다는 말이 된다. 이러한 수열을 구성하는 가장 간단한 방법은 아래와... Read more »

루빅스 큐브(Rubik's cube) - 악마의 수(devil's number)에 대하여

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이전 글에서 임의로 섞인 루빅스 큐브를 맞추는데 필요한 최소한의 회전수, 즉, 신의 수(God's number)는 20이라는 사실에 대해 살펴 보았다. 이제 조금 관점을 바꾸어서 생각해 보자. 어떤 공식을 단순히 반복 적용하여 (약 4,300경... Read more »