비 판정법은 급수의 수렴 여부를 판정하는 매우 강력한 도구 중 하나이다. 비 판정법이란, "주어진 급수 $\sum_n a_n$에 대하여 다음의 극한 \[ \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}} = L \] 에 대하여, $L>1$인... Read more »
지난 글에서 토매 함수(Thomae function)이라 불리는 함수를 정의하고, 이 함수가 모든 유리수점에서 불연속이고 모든 무리수점에서 연속인 함수임을 보였다. 이 관찰을 바탕으로 다음과 같은 자연스러운 질문을 던질 수 있다. 모든 유리수점에서... Read more »
디리클레 함수(Dirichelet function)란 모든 점에서 불연속인 함수의 한 예로써, 다음과 같이 정의되는 함수이다. \[ f(x) = \begin{cases} 0, \quad & \text{if $x \notin \Q$} \\ 1, \quad & \text{if $x... Read more »
※ 출처 - 선형대수학 멀티미디어 교재 행렬과 행렬식에 관한 연구의 출발은 기원전 4세기일 것으로 추측한다. 그러나 연구 결과의 기록은 구체적으로 기원전 2세기의 것부터 남아있으며, 연구를 위한 수단이 갖추어지는 17세기말이... Read more »
조밀성(compactness)은 위상수학 분야에서 가장 중요한 개념중의 하나이다. 하지만 처음 조밀성에 대한 정의를 처음 접할땐, 그 중요성이 한 눈에 와 닿지는 않는게 사실이다. 그것은 아마 다른 개념들과는 (예를 들어, 연속성(continuity)이나 연결성(connectedness)... Read more »
이전 글에서 우리가 흔히 위상수학이라고 부르는 일반위상수학(general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)은 최소한의 공리로부터 시작하여 집합 위에서의 극한 및 연속성을 잘 정의하기 위해서 시작한 수학의 한 분야임을 살펴 보았다. 이를 다시... Read more »
위상수학은 무엇을 공부하는 학문일까? 오늘은 위상수학(topology)에 대한 일반적인 얘기로 시작해 보려고 한다. 우리가 흔히 학부 수준에서 접하는 위상수학은 사실 일반위상수학(general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)으로 불리는 위상수학의 한 하위 분야로서,... Read more »
정리. 에르미트 항등식(Hermite's identity) 임의의 실수 $x \in \R$와 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor + \left\lfloor x... Read more »
에르미트-아다마르 부등식(Hermite-Hadamard inequality)이란 볼록함수에 대해 성립하는 부등식 중 하나로써, 볼록함수(convex function) $f:[a,\,b] \to \R$에 대하여 $f$를 구간 $[a,\,b]$에서 적분한 적분값의 평균을 간단히 근사하는 방법을 제공한다. 이번 글에서는 에르미트-아다마르 부등식을... Read more »
$\newcommand{\Prime}{\mathbb{P}}$조화급수(harmonic series)의 합, 즉 자연수의 역수의 합이 양의 무한대로 발산한다는 사실은 잘 알려져 있다. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty \] 자연수의 역수의... Read more »