테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서, 미분가능한 함수를 다항식의 형태로 근사하는 방법중 하나이다. 이 급수의 개념은 스코틀랜드의 수학자 그레고리(James Gregory)가 시초지만 1715년 이후, 영국의 수학자 테일러(Brook Taylor)에 의해 널리 알려지게 되었다. 먼저 테일러 급수의 정의에 대해서 알아보도록 하자.
또한 테일러 급수의 특별한 경우로, 스코틀랜드의 수학자 맥클로린(Colin Maclaurin)은 중심(center)이 0인 경우($a=0$)를 맥클로린 급수(Maclaurin series)라 명명하였는데 이는 수학분야에서 굉장히 많은 분야에 응용된다. 이번 포스트에서는 몇 가지 중요한 맥클로린 급수(Mclaurin series)를 모아서 정리해 보았다. 다음의 급수들은 주어진 범위를 만족하는 모든 복소수에서 성립한다.
1. 지수함수(Exponential Functions)
- $\displaystyle e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} \quad\text{ for all } x $
2. 로그함수(Logarithmic Functions)
- $\displaystyle \log(1-x) = - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n\quad\text{ for } |x| < 1 $
- $\displaystyle \log(1+x) = \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\quad\text{ for } |x| < 1 $
3. 기하급수(Geometric Series)
- $\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum^\infty_{n=0} x^n\quad\text{ for }|x| < 1 $
- $\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2} = \sum^\infty_{n=0} nx^n\quad\text{ for }|x| < 1 $
- $\displaystyle \frac{2x^2}{(1-x)^3} = \sum^\infty_{n=0} (n-1)nx^n\quad\text{ for }|x| < 1 $
4. 이항급수(Binomial Series)
- $\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\text{ for all }|x| < 1 \text{ and all complex } \alpha $
여기서 ${\alpha\choose n}$ 은 이항계수(binomial coefficient)로써 다음을 나타낸다.
$$ {\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$$
5. 삼각함수(Trigonometric Functions)
- $\displaystyle \sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\quad\text{ for all } x $
- $\displaystyle \cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\quad\text{ for all } x $
- $\displaystyle \tan x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\quad\text{ for }|x| < \frac{\pi}{2} $
6. 역삼각함수(Inverse Trigonometric Functions)
- $\displaystyle \arcsin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\text{ for }|x| \le 1 $
- $\displaystyle \arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\text{ for }|x| \le 1 $
- $\displaystyle \arctan x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\text{ for }|x| \le 1, x\not=\pm i $
7. 쌍곡함수(Hyperbolic Functions)
- $\displaystyle \sinh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad\text{ for all } x $
- $\displaystyle \cosh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad\text{ for all } x $
- $\displaystyle \tanh x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} \quad\text{ for }|x| < \frac{\pi}{2} $