"오일러 상수 $e$는 무리수이다."의 증명

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정리.

오일러 상수 $e$는 무리수(irrational)이다.

 

증명. 먼저 $e$의 급수전개(series expansion)에 대해 살펴보자.

\[ S_n := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{k!} + \cdots. \]

이 급수전개에 대한 $n$번 째 부분합(partial sum)을 아래와 같이 정의한다.

\[ S_n := \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!}. \]

이제 임의의 자연수 $n$과 부분합 $S_n$에 대하여 다음의 사실이 성립한다.

\[ \begin{aligned} 0 &< e - S_n \\[5pt] &= \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)!} + \cdots \\[5pt] &= \frac{1}{(n+1)!} \left[ 1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+3)(n+2)} + \cdots \right] \\[5pt] &< \frac{1}{(n+1)!} \left[ 1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \cdots \right] \\[5pt] &\stackrel{(\ast)}{=} \frac{1}{(n+1)!} \left[ \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}} \right] \\[5pt] &= \frac{1}{(n+1)!} \left[ \frac{n+1}{n} \right] \\[5pt] &= \frac{1}{n n!} \end{aligned} \]

여기서 등식 $(\ast)$는 우변의 괄호 안의 항은 공비가 $1/(n+1)$인 기하급수(geometric series)의 형태이고 ($1/(n+1)<1$ 이므로) 수렴한다는 사실을 이용하였다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여

\[ 0 < n! (e - S_n) < \frac{1}{n} \tag*{$(\ast \ast)$}\]

이 성립한다. 특히, $n>1$인 경우, $0 < n! (e - S_n) < 1$임을 알 수 있다.

이제 $e$가 유리수(rational number)라고 가정해보자. 즉, 서로소인 두 정수 $a,\,b$가 존재하여 $e = \frac{a}{b}$ 라고 나타낼 수 있다고 가정해보자. 이제$n>b$가 되게끔 충분히 큰 $n$을 택한다. 우선 $b \neq 1$이므로 $n>1$이고 따라서 $0 < n! (e - S_n) < 1$임을 알 수 있다. 하지만,

\[ \begin{aligned} n! (e - S_n) &= n! \left( \frac{a}{b} - S_n \right) \\[5pt] &= n!\left( \frac{a}{b} \right) - n! \left[ 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right] \\[5pt] &= a \left( \frac{n!}{b} \right) - \left[ n! + n! + \frac{n!}{2!} + \frac{n!}{3!} + \cdots + \frac{n!}{n!} \right]. \end{aligned} \]

이제 위 식의 마지막 항을 자세히 살펴보자. 먼저 $n>b$이므로 $n!$은 $b$의 배수이다. 따라서 $\frac{n!}{b}$ 는 정수(integer)여야만 한다. 또한 괄호 안의 각 항도 모두 정수이므로, 마지막 우변의 계산 결과는 정수여야만 할 것이다. 하지만 어떤 정수도 $0$보다 크고 $1$보다 작을 수 없기 때문에 모순이 생긴다. 즉, $e$가 유리수라는 가정이 잘못되었고, 그러므로 $e$는 무리수(irrational)이다.