다음과 같이 두 무한급수를 정의하자. $$\begin{array}{rl}{S}_1& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \\ S_2& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^n}=0+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots \end{array}$$ 위 두 급수의 값 중 어느 것이 더 큰지 비교해 보자. 우선 $n\ne 0$일 때, $S_2$의 $n$번째 항이 $S_1$의 $n$번째 항보다 더 크므로 $S_1<S_2$일 것 같아 보인다. 반대로 $S_1$의 $0$번째 항은 $S_1$의 $0$번째 항보다 $1$이나 더 크고, 나머지 항의 차는 점점 작아지기 때문에 $S_1>S_2$이 될 수도 있겠다는 생각이 들 수도 있다.

하지만 실제로 두 급수의 합을 계산해 보면 $S_1=S_2$라는 재미있는 결과를 얻을 수 있는데, 이를 증명해 보도록 하자.

증명. 무한등비급수의 합 공식에 따르면, $\left|x\right|<1$을 만족하는 임의의 실수 $x$에 대하여 $$\begin{array}{}(\ast )& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=\frac{1}{1-x}\end{array}$$ 이 성립한다. 따라서 $x=\frac{1}{2}$를 식 $(\ast )$에 대입하면, 간단히 무한급수 $S_1$의 값을 구할 수 있다. $$S_1=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$ 한 편, 식 $(\ast )$의 양변을 미분하면, $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$ 를 얻는다. 위 식의 좌변의 합을 $n=0$부터로 바꾸어도 좌변의 값은 변하지 않는다. 그리고 나서 위 식의 양변에 $x$를 곱하면 $$\begin{array}{}(\ast \ast )& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}\end{array}$$ 를 얻는다. 이제 $x=\frac{1}{2}$를 식 $(\ast \ast )$에 대입하면, 무한급수 $S_2$의 값 또한 구할 수 있다. $$S_2=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2}{)}^2}=2$$ 그러므로 $S_1=S_2$가 성립한다..

위 두 무한급수의 합과 관련해서 다음과 같은 재미있는 일화가 있다.

옛날 어떤 나라의 독재자 왕은 다음과 같은 생각을 하게 되었다. "(여자가 남자보다 훨씬 더 많도록) 남녀 성비를 조절하여, 이 나라의 모든 남자들이 더 많은 여자를 아내로 맞이할 수 있도록 해야겠다." 이를 위해 독재자 왕은 다음과 같은 법을 발표하였다.

$$

"이 나라의 모든 여성들은, 태어나는 아이가 여자아이라면 계속해서 아이를 더 낳을 수 있지만, 한번이라도 남자아이를 낳는 순간 더 이상 아이를 낳지 못한다!"

$$

따라서 이 법에 따르면 남자아이를 $M$으로 여자아이를 $F$로 나타낼 때, 각 가정의 아이의 성별은 나이 순서대로 $$M,FM,FFM,FFFM,FFFFM,\dots$$ 와 같은 형태만이 존재하게 된다. 만약 이 법을 수십년간 지속한다면, 결국 독재자 왕의 바램은 이루어 질 수 있을까?

남자아이와 여자아이를 낳을 확률은 동일하므로 $p=\frac{1}{2}$임을 알 수 있다. 이제 각 가정의 남자아이의 수에 대한 기댓값은 $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\frac{S_1}{2}=1$$ 이다. 또한 여자아이의 수에 대한 기댓값은 $$\frac{0}{2}+\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\cdots =\frac{S_2}{2}=1$$ 그러므로 각 가정의 남자아이와 여자아이의 수에 대한 기댓값은 모두 $1$명으로 동일함을 알 수 있다. 즉, 독재자 왕의 바램은 이루어 질 수 없다.