산술-기하 평균(Arithmetic-geometric mean)
임의의 두 양의 실수 $x,\, y > 0$이 주어졌다고 하자. 그러면 $x$와 $y$의 산술평균(arithmetic mean) 과 기하평균(geometric mean) 을 각각 아래와 같이
정의한다.
\[ A(x,\,y) = \frac{x + y}{2}, \qquad G(x,\,y) = \sqrt{xy} \]
이제 위 두가지 평균을 이용하여 아래와 같이 두 수열 $\langle a_n \rangle$과 $\langle g_n \rangle$을 반복적으로 정의해 보자.
\[ \left\{ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{a_n + g_n}{2}, \\ g_{n+1} &= \sqrt{a_n g_n} \end{aligned}
\right. \qquad \left\{ \begin{aligned} a_{1} &= \frac{x + y}{2}, \\ g_{1} &= \sqrt{xy} \end{aligned} \right.
\tag*{$(\ast)$} \]
위와 같이 정의한 두 수열 $\langle a_n \rangle$과 $\langle g_n \rangle$은 수렴할까? 이 사실은 다음과 같이 간단하게 확인할 수 있다.
우선 일반성을 잃지 않고 $x \geq y > 0$이라 가정하자. 그러면 우선 산술기하평균 부등식에 의해서 임의의 $n \in \N$에 대하여 $a_n \geq g_n$임을 알 수 있다. 따라서 임의의
$n \in \N$에 대하여 아래 부등식이 성립한다.
\[ x \geq a_n \geq a_{n+1} \geq g_{n+1} \geq g_{n} \geq y \]
이제 수열 $\langle a_n \rangle$은 감소하고 $y$에 의해 아래로 유계이므로 수렴한다. 마찬가지 방법으로 수열 $\langle g_n \rangle$은 증가하고 $x$에 의해 위로 유계이므로
수렴함을 알 수 있다. 이제 임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여,
\[ a_{n+1} - g_{n+1} < a_{n+1} - g_{n} = \frac{1}{2}(a_n - g_n) < \cdots < \frac{1}{2^n}(x-y) \]
가 성립한다. 따라서 두 수열 $\langle a_n \rangle$과 $\langle g_n \rangle$은 같은 값으로 수렴함을 알 수 있다.
위 관찰을 바탕으로 두 양의 실수 $x,\,y >0$의 산술-기하 평균(arithmetic-geometric mean) 을 아래와 같이 정의한다.
정의 1. 산술-기하 평균(Arithmetic-geometric mean)두 양의 실수 $x,\,y > 0$에 대하여 수열 $\langle a_n \rangle$과 $\langle g_n \rangle$을 $(\ast)$와 같이 정의한다. 이 때 이 두 수열의 공통
극한값을 $x$와 $y$의 산술-기하 평균(arithmetic-geometric mean) 으로 정의하고 기호로 $AG(x,\,y)$와 같이 나타낸다.
산술-기하 평균에 대한 몇 가지 사실을 열거하면 다음과 같다.
(두 수열의 극한을 통해 정의한) 산술-기하 평균에 관한 내용은 라그랑주(Lagrange)의 논문에 최초로 기술되어 있고, 후에 이 평균에 대한 여러가지 성질들이 가우스(Gauss)에 의해 밝혀졌다고
한다.
두 양의 실수 $x \geq y > 0$의 산술-기하 평균은 언제나 산술평균과 기하평균 사이의 값을 같는다. 즉, \[ x \geq A(x,\,y) \geq AG(x,\,y) \geq
G(x,\,y) \geq y \] 가 성립한다. 또한 $x = y$인 경우를 제외하면, 위 부등식들의 등호가 성립하지 않는다.
산술-기하 평균은 음이 아닌 임의의 실수에 대하여 (차수가 1인) 동차성(homogeneity) 을 갖는다. 즉, 임의의 $r \geq 0$에 대하여 다음이 성립한다. \[ AG(rx,\, ry)
= r AG(x,\,y) \]
가우스 상수(Gauss's constant) 는 $1$과 $\sqrt{2}$의 산술-기하 평균의 역수로 정의한다. 즉, \[ G := \frac{1}{AG(1,\, \sqrt{2})} = 0.8346268
\cdots \] 가우스 상수 $G$는 베타함수(beta function) , 감마함수(gamma function) , 타원 적분(elliptic integral) 등 수학의 여러 분야에서 등장하는 수학 상수라고
한다.산술-기하 평균을 정의한 방법과 유사하게 기하-조화 평균(geometric-harmonic mean) $GH(x,\,y)$를 정의할 수 있다. 이 평균값은 기하평균과 조화평균 사이의 값을 가지며
산술-기하 평균과는 다음과 같은 관계를 가진다. \[ HG(x,\,y) = \frac{1}{AG(\tfrac{1}{x},\, \tfrac{1}{y})} \] 물론 산술-조화
평균(arithmetic-harmonic mean) 도 정의 가능하지만 이 값은 기하평균과 같다.
제1종 완전 타원 적분(complete elliptic integral of the first kind)
임의의 양의 실수 $x,\, y > 0$에 대하여 아래와 같이 적분을 정의하자.
\[ I(x,\,y) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta}} \]
위 적분에 대하여 다음의 사실들이 성립함을 어렵지 않게 확인할 수 있다.
$I(x,\,y) = I(y,\,x)$.
$I(rx,\, ry) = \frac{1}{r} I(x,\,y)$. 특히, $I(x,\,y) = \frac{1}{x} I(1,\, \frac{y}{x})$.
$I(x,\,x) = \frac{\pi}{2x}$.
$x>y$라 가정하면, $\frac{\pi}{2x} \leq I(x,\,y) \leq \frac{\pi}{2y}$.
또한 이 적분 $I(x,\,y)$는 제1종 완전 타원 적분(complete elliptic integral of the first kind) 과 밀접한 관련이 있다. 제1종 완전 타원 적분이란 아래와 같은
형태의 적분을 말한다.
\[ K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}} \]
이제 주어진 $0 \leq k \leq 1$에 대하여 $k$의 켤레(conjugate) $k'$을 $k^2 + k'^2 = 1$을 만족하는 실수로 정의하자. 그러면 $I(x,\,y) = \frac{1}{x}
K((\frac{y}{x})')$임을 간단히 보일 수 있다.
\begin{align*} I(x,\,y) &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta}}
\\ &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{x^2(1 - \sin^2 \theta) + y^2 \sin^2 \theta}} \\ &=
\int_{0}^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{x^2 - (x^2 - y^2) \sin^2 \theta}} \\ &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{d
\theta}{x \sqrt{1 - (1 - (\tfrac{y}{x})^2) \sin^2 \theta}} = \frac{1}{x} K((\tfrac{y}{x})') \\ \end{align*}
정리 2. 임의의 $x,\, y > 0$에 대하여,
\[ I(x,\,y) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta}} = \int_{0}^{\infty}
\frac{dt}{\sqrt{t^2 + x^2} \sqrt{t^2 + y^2}} \]
증명. $t = y \tan \theta$를 이용하여 치환적분을 하면 간단히 위 등식을 얻는다.
산술-기하 평균과 타원 적분 사이의 관계
산술-기하 평균은 다음과 같이 타원 적분을 이용한 적분 형태로 구할 수 있음이 알려져 있다.
정리 3. 임의의 양의 실수 $x,\, y > 0$에 대하여 다음 식이 성립한다.
\[ AG(x,\,y) = \frac{\pi}{2 I(x,\,y)} \]
증명. 먼저 임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여 $I(a_{n+1},\, g_{n+1}) = I(a_n,\, g_n)$이 성립함을 보일 것이다. 먼저 위의 정리 2에 의하여
\begin{align*} I(a_{n+1},\, g_{n+1}) &= \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{t^2 + a_{n+1}^2} \sqrt{t^2 +
g_{n+1}^2}} \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{t^2 + a_{n+1}^2} \sqrt{t^2 + g_{n+1}^2}}
\end{align*}
이제 치환 $2t = s - \frac{a_ng_n}{s}$를 이용하여 치환적분을 해보자. 그러면 치환된 적분의 적분구간은 $(0,\, \infty)$이고 $2 \,dt = (1 +
\frac{a_ng_n}{s^2}) \,ds$를 얻는다. 또한
\[ 4(t^2 + a_{n+1}^2) = \left( s - \frac{a_ng_n}{s} \right)^2 + 4\left( \frac{a_n + g_n}{2} \right)^2 =
s^2 + \frac{a_n^2 g_n^2}{s^2} + a_n^2 + g_n^2 = \frac{1}{s^2}(s^2 + a_n^2)(s^2 + g_n^2) \]또한
\[ 4(t^2 + g_{n+1}^2) = \left( s - \frac{a_ng_n}{s} \right)^2 + 4(\sqrt{a_ng_n})^2 = s^2 - 2a_ng_n +
\frac{a_n^2 g_n^2}{s^2} = \left( s + \frac{a_ng_n}{s} \right)^2 \]
위 사실을 모두 종합하여 치환적분을 하면
\begin{align*} I(a_{n+1},\, g_{n+1}) &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{t^2 +
a_{n+1}^2} \sqrt{t^2 + g_{n+1}^2}} \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{2s}{\sqrt{s^2 + a_n^2} \sqrt{s^2
+ g_n^2}} \cdot \frac{2}{s + \frac{a_ng_n}{s}} \cdot \frac{1}{2}(1 + \frac{a_ng_n}{s^2}) \,ds \\ &=
\int_{0}^{\infty} \frac{ds}{\sqrt{s^2 + a_{n+1}^2} \sqrt{s^2 + g_{n+1}^2}} \\ &= I(a_n,\, g_n)
\end{align*}
따라서 $I(a_{n+1},\, g_{n+1}) = I(a_n,\, g_n)$이 성립함을 알 수 있다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 임의의 $n \in \N$에 대하여 $I(x,\,y) = I(a_n,\,
g_n)$임을 보일 수 있다. 따라서
\[ I(x,\,y) = \lim_{n \to \infty} I(a_n,\, g_n) = I(AG(x,\,y),\, AG(x,\,y)) = \frac{\pi}{2 AG(x,\,y)} \]
위 식을 $AG(x,\,y)$에 관하여 정리하면 원하는 결과를 얻는다.
따름정리 4. 임의의 양의 실수 $x \geq y > 0$에 대하여 다음 식이 성립한다.
\[ AG(x,\,y) = \frac{\pi (x+y)}{4 K \big( \frac{x-y}{x+y} \big)} \]
증명. 위 정리 3의 증명 과정에서 $I(x,\,y) = I(\frac{x+y}{2},\, \sqrt{xy})$가 성립함을 확인하였다. 따라서
\[ I(x,\,y) = I \left( \frac{x+y}{2},\, \sqrt{xy} \right) = \frac{2}{x+y} I \left(1,\, \frac{2\sqrt{xy}}{x+y}
\right) = \frac{2}{x+y} K \left( \frac{x-y}{x+y} \right) \]
를 얻는다. 이제 위 등식을 정리 3의 등식에 대입하면 원하는 결과를 얻는다.
따라서 제1종 완전 타원 적분의 값을 산술-기하 평균의 값을 통해서 구할 수 있다. 이 때, 산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 따름 정리 4를 이용하여 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다.