피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1

피보나치 수열_{(Fibonacci sequence)}은 $F_{0} = 0$ , $F_{1} = 1$ , $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ 으로 정의된 대중적으로 가장 잘 알려진 수열 중 하나이다. 이 수열에 대한 성질에 대하여 몇 개의 글을 작성한 적이 있다.

한 편 루카스 수열_{(Lucas sequence)}은 피보나치 수열과 초기값은 다르지만 동일한 점화관계_{(recurrence relation)}을 갖는 수열로서, $L_{0} = 2$ , $L_{1} = 1$ , $L_{n + 2} = L_{n + 1} + L_{n}$ 와 같이 정의된다. 피보나치 수열(OEIS: A000045)과 루카스 수열(OEIS: A000032)의 첫 $10$ 개 항을 나열하면 다음과 같다.

\begin{aligned} (F_{n}) & = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots) \\ (L_{n}) & = (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, \dots) \end{aligned}

피보나치 수열과 루카스 수열 사이에는 다양한 항등식이 성립하는데, 그 중 몇 가지는 삼각함수의 항등식과 유사한 형태를 가짐을 확인할 수 있다. 예를 들어 $(F_{n})$ 과 $(L_{n})$ 사이에는 다음의 항등식

\begin{matrix} (1) & - 5 F_{n}^{2} + L_{n}^{2} = 4 (- 1)^{n} \end{matrix}

이 성립하는데, 이는 삼각함수의 항등식

\begin{matrix} (2) & \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1 \end{matrix}

과 유사한 형태를 가진다. 또한 다음의 항등식

\begin{matrix} (3) & 2 F_{m + n} = F_{m} L_{n} + L_{m} F_{n} \end{matrix}

은 삼각함수의 덧셈공식

\begin{matrix} (4) & \sin (α + β) = \sin (α) \cos (β) + \cos (α) \sin (β) \end{matrix}

와 유사한 형태를 가진다. 실제로 식 $(2)$ 와 $(4)$ 에서 $\sin (θ)$ 를 $F_{n}$ 으로 $\cos (θ)$ 를 $L_{n}$ 으로 치환한 뒤에, 계수를 적절이 맞추어 주면 식 $(1)$ 과 $(3)$ 을 각각 얻을 수 있음을 확인할 수 있다. 전혀 다른 것으로 보이는 피보나치/루카스 수열과 삼각함수 사이에 이러한 유사성이 발생하는 이유는 무엇일까? 이 두 수열과 삼각함수 사이를 연결하는 다리에 대해서 생각해 보도록 하자.

피보나치/루카스 수열과 삼각함수 사이의 관계

사실 위와 같은 유사성이 발생하는 이유는 비네의 공식_{(Binet's formula)}으로 잘 알려진 피보나치/루카스 수열의 닫힌 형태 공식에 있다. 이 공식에 따르면, 정수 $n \geq 0$ 에 대하여 $F_{n}$ 과 $L_{n}$ 은 각각

\begin{aligned} F_{n} & = \frac{ϕ^{n} - ψ^{n}}{\sqrt{5}} = \frac{ϕ^{n} - (- ϕ)^{- n}}{\sqrt{5}} \\ (5) & L_{n} & = ϕ^{n} + ψ^{n} = ϕ^{n} + (- ϕ)^{- n} \end{aligned}

이 성립한다. (단, $ϕ = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})$ , $ψ = \frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})$ 로 정의된 실수로써, 방정식 $x^{2} - x - 1 = 0$ 의 두 실근이다.) 한 편, 오일러 공식_{(Euler's formula)}에 의하면, 임의의 실수 $x \in R$ 에 대하여,

\begin{matrix} (6) & \sin (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 i}, \cos (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \end{matrix}

가 성립한다. 또한 위 식을 이용하여 $\sin$ 함수와 $\cos$ 함수의 정의역을 복소수로 확장할 수 있다. 여기서 식 $(5)$ 와 $(6)$ 을 비교해 보면, $\sin (x)$ 와 $F_{n}$ , 그리고 $\cos (x)$ 와 $L_{n}$ 사이의 유사성을 확인할 수 있다. 이 사실을 이용하여 다음 정리를 증명할 수 있다.

정리.

임의의 양의 정수 $n \in N$ 에 대하여 다음 등식이 성립한다.

\cos (z_{n}) = \frac{i^{n}}{2} L_{n}, \sin (z_{n}) = \frac{i^{n} \sqrt{5}}{2 i} F_{n}

여기서 $z_{n} = \frac{n π}{2} - i \ln (ϕ^{n})$ 이다.

증명. 먼저 다음 식이 성립함을 확인하자.

\begin{aligned} e^{i z_{n}} & = \exp (\ln (ϕ^{n}) + i \frac{n π}{2}) \\ = \exp (\ln (ϕ^{n})) \exp (i \frac{n π}{2}) = ϕ^{n} i^{n} \end{aligned}

같은 방법으로 $e^{- i z_{n}} = ϕ^{- n} (- i)^{n} = (- ϕ)^{- n} i^{n}$ 을 얻는다. 이 사실을 이용하여 $\cos (z_{n})$ 을 정리하면,

\begin{aligned} \cos (z_{n}) & = \frac{1}{2} (e^{i z_{n}} + e^{- i z_{n}}) = \frac{1}{2} (ϕ^{n} i^{n} + (- ϕ)^{- n} i^{n}) \\ = \frac{i^{n}}{2} (ϕ^{n} + (- ϕ)^{- n}) = \frac{i^{n}}{2} L_{n} \end{aligned}

마찬가지 방법으로 $\sin (z_{n})$ 을 정리하면,

\begin{aligned} \sin (z_{n}) & = \frac{1}{2 i} (e^{i z_{n}} - e^{- i z_{n}}) = \frac{1}{2 i} (ϕ^{n} i^{n} - (- ϕ)^{- n} i^{n}) \\ = \frac{i^{n} \sqrt{5}}{2 i} (\frac{ϕ^{n} - (- ϕ)^{- n}}{\sqrt{5}}) = \frac{i^{n} \sqrt{5}}{2 i} F_{n} \end{aligned}

따라서 주어진 등식이 성립한다.

위 정리를 이용하면, 주어진 삼각함수 공식에 대응되는 피보나치-루카스 수열 공식을 얻어낼 수 있다. 그 중 몇 가지를 아래 예제를 통해 살펴보자.

예제 1. 삼각함수에 대한 항등식

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1

을 생각해 보자. 주어진 양의 정수 $n \in N$ 에 대하여, $θ = z_{n}$ 을 위 식에 대입하면

(\frac{i^{n} \sqrt{5}}{2 i} F_{n})^{2} + (\frac{i^{n}}{2} L_{n})^{2} = 1

이라는 사실을 알 수 있다. 한 편, 위 식의 양변에 $4 i^{2 n}$ 을 곱해준 뒤 정리하면,

- 5 F_{n}^{2} + L_{n}^{2} = 4 i^{2 n} = 4 (- 1)^{n}

을 얻는다.

예제 2. $\sin$ 함수와 $\cos$ 함수의 덧셈 공식은 다음과 같다.

\begin{aligned} (7) & \sin (α + β) & = \sin (α) \cos (β) + \cos (α) \sin (β) \\ (8) & \cos (α + β) & = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β) \end{aligned}

이제 임의의 양의 정수 $m, n \in N$ 에 대하여, $α = z_{m}$ , $β = z_{n}$ 을 식 $(7)$ 에 대입하면,

\frac{i^{m + n} \sqrt{5}}{2 i} F_{m + n} = (\frac{i^{m} \sqrt{5}}{2 i} F_{m}) (\frac{i^{n}}{2} L_{n}) + (\frac{i^{m}}{2} L_{m}) (\frac{i^{n} \sqrt{5}}{2 i} F_{n})

을 얻는다. 이제 위 식의 양변에 $\frac{4 i}{i^{m + n} \sqrt{5}}$ 을 곱해 준 뒤 정리하면,

2 F_{m + n} = F_{m} L_{n} + L_{m} F_{n}

을 얻는다. 마찬가지로 $α = z_{m}$ , $β = z_{n}$ 을 식 $(8)$ 에 대입하고 정리하면,

2 L_{m + n} = L_{m} L_{n} + 5 F_{m} F_{n}

을 얻는다.

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