피보나치 수열(Fibonacci sequence) 은 $F_{0} = 0$, $F_{1} = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$으로 정의된 대중적으로 가장 잘 알려진 수열 중 하나이다. 이 수열에 대한 성질에 대하여 몇 개의 글을 작성한 적이 있다.
한 편 루카스 수열(Lucas sequence) 은 피보나치 수열과 초기값은 다르지만 동일한 점화관계(recurrence relation) 을 갖는 수열로서, $L_{0} = 2$, $L_{1} = 1$, $L_{n+2} = L_{n+1} + L_{n}$와 같이 정의된다. 피보나치 수열(OEIS: A000045 )과 루카스 수열(OEIS: A000032 )의 첫 $10$개 항을 나열하면 다음과 같다.
\[ \begin{align*}
(F_n) & = (0,\, 1,\, 1,\, 2,\, 3,\, 5,\, 8,\, 13,\, 21,\, 34,\, \ldots) \\[5px]
(L_n) & = (2,\, 1,\, 3,\, 4,\, 7,\, 11,\, 18,\, 29,\, 47,\, 76,\, \ldots)
\end{align*} \]
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피보나치 수열과 루카스 수열 사이에는 다양한 항등식이 성립하는데, 그 중 몇 가지는 삼각함수의 항등식과 유사한 형태를 가짐을 확인할 수 있다. 예를 들어 $(F_n)$과 $(L_n)$ 사이에는 다음의 항등식
\[ -5 F_n^2 + L_n^2 = 4 (-1)^n \tag*{$\myblue{(1)}$} \]
이 성립하는데, 이는 삼각함수의 항등식
\[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \tag*{$\myblue{(2)}$} \]
과 유사한 형태를 가진다. 또한 다음의 항등식
\[ 2 F_{m+n} = F_m L_n + L_m F_n \tag*{$\myblue{(3)}$} \]
은 삼각함수의 덧셈공식
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) \tag*{$\myblue{(4)}$} \]
와 유사한 형태를 가진다. 실제로 식 $\myblue{(2)}$와 $\myblue{(4)}$에서 $\sin(\theta)$를 $F_n$으로 $\cos(\theta)$를 $L_n$으로 치환한 뒤에, 계수를 적절이 맞추어 주면 식 $\myblue{(1)}$과 $\myblue{(3)}$을 각각 얻을 수 있음을 확인할 수 있다. 전혀 다른 것으로 보이는 피보나치/루카스 수열과 삼각함수 사이에 이러한 유사성이 발생하는 이유는 무엇일까? 이 두 수열과 삼각함수 사이를 연결하는 다리에 대해서 생각해 보도록 하자.
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피보나치/루카스 수열과 삼각함수 사이의 관계
사실 위와 같은 유사성이 발생하는 이유는 비네의 공식(Binet's formula) 으로 잘 알려진 피보나치/루카스 수열의 닫힌 형태 공식에 있다. 이 공식에 따르면, 정수 $n \geq 0$에 대하여 $F_n$과 $L_n$은 각각
\[ \begin{align*}
F_n & = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} = \frac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}} \\[5px]
L_n & = \phi^n + \psi^n = \phi^n + (-\phi)^{-n} \tag*{$\myblue{(5)}$}
\end{align*} \]
이 성립한다. (단, $\phi = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$, $\psi = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{5})$로 정의된 실수로써, 방정식 $x^2 - x - 1 = 0$의 두 실근이다.) 한 편, 오일러 공식(Euler's formula) 에 의하면, 임의의 실수 $x \in \R$에 대하여,
\[ \sin(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2i}, \quad \cos(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \tag*{$\myblue{(6)}$} \]
가 성립한다. 또한 위 식을 이용하여 $\sin$함수와 $\cos$함수의 정의역을 복소수로 확장할 수 있다. 여기서 식 $\myblue{(5)}$와 $\myblue{(6)}$을 비교해 보면, $\sin(x)$와 $F_n$, 그리고 $\cos(x)$와 $L_n$ 사이의 유사성을 확인할 수 있다. 이 사실을 이용하여 다음 정리를 증명할 수 있다.
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정리. 임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 다음 등식이 성립한다.
\[ \cos(z_n) = \frac{i^n}{2} L_n, \quad \sin(z_n) = \frac{i^n \sqrt{5}}{2i} F_n \]
여기서 $z_n = \frac{n\pi}{2} - i \ln(\phi^n)$이다.
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증명. 먼저 다음 식이 성립함을 확인하자.
\[ \begin{align*}
e^{i z_n} & = \exp \left( \ln(\phi^n) + i \frac{n\pi}{2} \right) \\[5px]
& = \exp \left( \ln(\phi^n) \right) \exp \left( i \frac{n\pi}{2} \right)
= \phi^n i^n
\end{align*} \]
같은 방법으로 $e^{-i z_n} = \phi^{-n} (-i)^n = (-\phi)^{-n} i^n$을 얻는다. 이 사실을 이용하여 $\cos(z_n)$을 정리하면,
\[ \begin{align*}
\cos(z_n) & = \frac{1}{2} \Big( e^{i z_n} + e^{-i z_n} \Big)
= \frac{1}{2} \Big( \phi^n i^n + (-\phi)^{-n} i^n \Big) \\[5px]
& = \frac{i^n}{2} \Big( \phi^n + (-\phi)^{-n} \Big)
= \frac{i^n}{2} L_n
\end{align*} \]
마찬가지 방법으로 $\sin(z_n)$을 정리하면,
\[ \begin{align*}
\sin(z_n) & = \frac{1}{2i} \Big( e^{i z_n} - e^{-i z_n} \Big)
= \frac{1}{2i} \Big( \phi^n i^n - (-\phi)^{-n} i^n \Big) \\[5px]
& = \frac{i^n \sqrt{5}}{2i} \left( \frac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}} \right)
= \frac{i^n \sqrt{5}}{2i} F_n
\end{align*} \]
따라서 주어진 등식이 성립한다.$ $
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위 정리를 이용하면, 주어진 삼각함수 공식에 대응되는 피보나치-루카스 수열 공식을 얻어낼 수 있다. 그 중 몇 가지를 아래 예제를 통해 살펴보자.
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예제 1. 삼각함수에 대한 항등식
\[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \]
을 생각해 보자. 주어진 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $\theta = z_n$을 위 식에 대입하면
\[ \bigg( \frac{i^n \sqrt{5}}{2i} F_n \bigg)^2 + \bigg( \frac{i^n}{2}L_n \bigg)^2 = 1 \]
이라는 사실을 알 수 있다. 한 편, 위 식의 양변에 $4 i^{2n}$을 곱해준 뒤 정리하면,
\[ -5 F_n^2 + L_n^2 = 4 i^{2n} = 4 (-1)^n \]
을 얻는다.
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예제 2. $\sin$함수와 $\cos$함수의 덧셈 공식은 다음과 같다.
\[ \begin{align*}
\sin(\alpha + \beta) & = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) \tag*{$\myblue{(7)}$} \\[5px]
\cos(\alpha + \beta) & = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) \tag*{$\myblue{(8)}$}
\end{align*} \]
이제 임의의 양의 정수 $m,\, n \in \N$에 대하여, $\alpha = z_m$, $\beta = z_n$을 식 $\myblue{(7)}$에 대입하면,
\[ \frac{i^{m+n} \sqrt{5}}{2i} F_{m+n} = \bigg( \frac{i^m \sqrt{5}}{2i} F_m \bigg) \bigg( \frac{i^n}{2} L_n \bigg) + \bigg( \frac{i^m}{2} L_m \bigg) \bigg( \frac{i^n \sqrt{5}}{2i} F_n \bigg) \]
을 얻는다. 이제 위 식의 양변에 $\displaystyle \frac{4 i}{i^{m+n} \sqrt{5}}$을 곱해 준 뒤 정리하면,
\[ 2 F_{m+n} = F_m L_n + L_m F_n \]
을 얻는다. 마찬가지로 $\alpha = z_m$, $\beta = z_n$을 식 $\myblue{(8)}$에 대입하고 정리하면,
\[ 2 L_{m+n} = L_m L_n + 5 F_m F_n \]
을 얻는다.$ $