Problems and Solutions #013

아래의 등식을 만족하는 양의 정수

0 < a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4} \leq a_{5}

를 모두 찾아라.

\begin{matrix} (*) & a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} \end{matrix}

풀이. 양의 정수로 이루어진 순서쌍

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5})

가

a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4} \leq a_{5}

를 만족하고 등식

(*)

또한 만족한다고 하자. 그러면,

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} \leq 5 a_{5}

가 성립해야만 한다. 이 때, 부등식의 등호조건은 $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = a_{5}$ 이다. 하지만 이 경우, 적당한 양의 정수 $n$ 이 존재하여 ( $a_{i} = n$ 이라 놓으면) $n^{5} = 5 n$ 을 만족해야만 하는데, $n = 0$ 또는 허근이 되어 모순이 발생한다. 따라서 등호조건은 절대로 만족할 수 없고,

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} < a_{5}

임을 알 수 있다. 위 부등식을 정리해 주면, $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} < 5$ 또는 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \leq 4$ 를 얻는다.

여기서 $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4}$ 와 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \leq 4$ 를 동시에 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})$ 는 총 다섯가지가 존재함을 알 수 있다.

(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 3), (1, 1, 1, 4), (1, 1, 2, 2)

이제 $a_{5} = n$ 이라 가정하고, 각각의 경우를 살펴보자.

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}) = (1, 1, 1, 1, n)$ 인 경우: $n = 4 + n$ 이 되어 모순.
$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}) = (1, 1, 1, 2, n)$ 인 경우: $2 n = 5 + n$ 이므로 $n = 5$ 를 얻는다.
$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}) = (1, 1, 1, 3, n)$ 인 경우: $3 n = 6 + n$ 이므로 $n = 3$ 을 얻는다.
$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}) = (1, 1, 1, 4, n)$ 인 경우: $4 n = 7 + n$ 이므로 $n = \frac{7}{3}$ 을 얻는데, $n$ 이 양의 정수라는 사실에 모순.
$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}) = (1, 1, 2, 2, n)$ 인 경우: $4 n = 6 + n$ 이므로 $n = 2$ 를 얻는다.

위의 사실을 종합해 보면, 문제의 조건을 만족하는 양의 정수쌍 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5})$ 는 오직 세개 뿐이다.

(1, 1, 1, 2, 5), (1, 1, 1, 3, 3), (1, 1, 1, 1, 2)

Solution

Math Storehouse

A collection of mathematical odds and ends

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