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풀이. 우선 $m=0$인 경우, 주어진 무한곱의 값은 자명하게 $1$이 된다. 이제 $m \neq 0$이라 가정하자. 주어진 무한곱의 부분곱 $P_n$을 아래와 같이 정의하자.
\[ P_n := \prod_{k=1}^{n} \cos ( m 2^{-k} ). \]
삼각함수에 관한 항등식 $\sin(2 \theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$를 이용하여 $P_n$을 정리하면,
\[ \begin{align*}
P_n &= \prod_{k=1}^{n} \frac{\sin ( m 2^{-k+1} )}{\sin ( m 2^{-n+1} )} \\[5px] &= \frac{\sin(m 2^0)}{\sin ( m 2^{-1} )} \cdot \frac{\sin(m 2^{-1})}{\sin ( m 2^{-2} )} \cdot \frac{\sin(m 2^{-2})}{\sin ( m 2^{-3} )} \cdot \cdots \cdot \frac{\sin(m 2^{-n+1})}{\sin ( m 2^{-n} )} \\[5px] &= \frac{\sin(m)}{\sin ( m 2^{-n} )} \end{align*} \]
이 때, 임의의 $m \neq 0$에 대하여 $m 2^{-n}$의 값은 절대 $\pi$의 배수가 될 수 없으므로, 위의 부분곱은 잘 정의됨을 알 수 있다. 마지막으로 임의의 실수 $x \in \R$에 대하여, $\lim_{n \to \infty} \sin(x)/x = 1$이 성립하므로, 이 사실을 이용하여 $P_n$의 극한을 취하면
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(m)}{2^n \sin ( m 2^{-n} )} = \frac{\sin(m)}{m} \]
을 얻는다..