풀이. 주어진 극한값을 $L$이라 하자. 그러면 정적분의 정의에 의해서 \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln f \left( \tfrac{k}{n} \right) = \int_{0}^{1} \ln f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x \ln \left( 1 + \tfrac{1}{x} \right) \,dx \] 를 얻는다. 이제 위 식 우변의 정적분을 구하기 위하여 $u = \ln (1 + \tfrac{1}{x})$, $dv = x \,dx$로 부분적분을 하면 \[ \begin{align*} \int_{0}^{1} x \ln \left( 1 + \tfrac{1}{x} \right) \,dx &= \left. \frac{x^2}{2} \ln \left( 1 + \tfrac{1}{x} \right) \right|_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} \, dx \\[5pt] &= \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \underbrace{\lim_{x \to 0} x^2\ln (1 + \tfrac{1}{x})}_{\myblue{(1)}} + \frac{1}{2} \cdot \underbrace{\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} \, dx}_{\myblue{(2)}} \end{align*} \] 임을 알 수 있다. 먼저 극한 $\myblue{(1)}$을 구해보면 로피탈의 정리(L'Hospital's rule)에 의해, \[ \myblue{(1)} = \lim_{x \to 0} x^2\ln (1 + \tfrac{1}{x}) = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1 + n)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n(1+n)} = 0 \] 를 얻는다. 또한 정적분 $\myblue{(2)}$를 구하기 위해서 $u = x+1$, $du = dx$로 치환적분을 하면, \[ \myblue{(2)} = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{u-1}{u} \,du = u - \ln u \, \Big|_{1}^{2} = 1 - \ln 2 \] 따라서 $\myblue{(1)}$과 $\myblue{(2)}$에 의해 \[ \ln L = \frac{\ln 2}{2} + \frac{1 - \ln 2}{2} = \frac{1}{2} \] 임을 알 수 있고, $L = \sqrt{e}$를 얻는다..