풀이 1. 우선 부등식 $(1)$에서 $x=y+\frac{\pi }{2}$를 대입하면 부등식 $(2)$를 얻는다. 따라서 부등식 $(2)$만을 증명하도록 하자. 이를 위해 우선 함수 $$f(x)=\cos (\sin (x))-\sin (\cos (x))$$ 로 정의하자. 그러면 임의의 실수 $x$에 대하여, $f(x+2\pi )=f(x)$이고 $f(-x)=f(x)$임을 간단히 보일 수 있다. 즉, $f$는 주기가 $2\pi$인 주기함수이면서 짝함수(even function)이므로 구간 $[0,\pi ]$에서 $f(x)>0$임을 보이면 충분하다.

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먼저 $x=0$인 경우, $$f(0)=\cos (\sin (0))-\sin (\cos (0))=\cos (0)-\sin (1)=1-\sin (1)>0$$ 이 성립한다. 또한 $\frac{\pi }{2}\le x\le \pi$인 경우, $0\le \sin (x)\le 1$이고 $-1\le \cos (x)\le 0$이므로, $$0<\cos (\sin (x))\le 1,-1<\sin (\cos (x))\le 0$$ 이고, 따라서 $f(x)>0$을 얻는다. 마지막으로 $0<x<\frac{\pi }{2}$인 경우를 살펴보자. 이 경우 다음의 부등식 $$\cos (\sin (x))>\cos (x)>\sin (\cos (x))$$ 를 얻는다. 이 때, 첫 번째 부등식에는 구간 $[0,\frac{\pi }{2}]$에서 $\cos (x)$이 감소함수라는 사실을, 두 번째 부등식에는 임의의 양의 실수 $t$에 대하여 $\sin (t)<t$가 성립한다는 사실을 이용하였다. 따라서 구간 $0<x<\frac{\pi }{2}$에서도 $f(x)>0$임을 알 수 있다.

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위 사실을 종합하면 구간 $[0,\pi ]$에서 $f(x)>0$이므로 주어진 부등식이 성립한다..

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풀이 2. 풀이 1에서와 같이 함수 $f$를 정의한다. 이제 삼각함수 공식들을 이용하여 $f$를 정리하면, $$\begin{array}{rl}f(x)& =\cos (\sin (x))-\sin (\cos (x))\\ & =\sin (\frac{\pi }{2}+\sin (x))-\sin (\cos (x))\\ & =2\cos \left(\frac{\frac{\pi }{2}+\sin (x)+\cos (x)}{2}\right)\sin \left(\frac{\frac{\pi }{2}+\sin (x)-\cos (x)}{2}\right)\end{array}$$ 를 얻는다. 한 편, 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)에 의하면 $$\left|\sin (x)\pm \cos (x)\right|\le \sqrt{(1^2+1^2)({\sin }^2(x)+{\cos }^2(x))}=\sqrt{2}<\frac{\pi }{2}$$ 이므로 $$0=\frac{\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}}{2}<\frac{\frac{\pi }{2}+\sin (x)\pm \cos (x)}{2}<\frac{\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}}{2}=\frac{\pi }{2}$$ 위 구간에서 $\sin$과 $\cos$의 값은 모두 양수이므로 임의의 실수 $x$에 대하여 $f(x)>0$가 성립한다..