풀이 1. 우선 부등식 $\myblue{(1)}$에서 $x = y + \frac{\pi}{2}$를 대입하면 부등식 $\myblue{(2)}$를 얻는다. 따라서 부등식 $\myblue{(2)}$만을 증명하도록 하자. 이를 위해 우선 함수 \[ f(x) = \cos(\sin(x)) - \sin(\cos(x)) \] 로 정의하자. 그러면 임의의 실수 $x$에 대하여, $f(x + 2\pi) = f(x)$이고 $f(-x) = f(x)$임을 간단히 보일 수 있다. 즉, $f$는 주기가 $2\pi$인 주기함수이면서 짝함수(even function)이므로 구간 $[0,\, \pi]$에서 $f(x) > 0$임을 보이면 충분하다.

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먼저 $x=0$인 경우, \[ f(0) = \cos(\sin(0)) - \sin(\cos(0)) = \cos(0) - \sin(1) = 1 - \sin(1) > 0 \] 이 성립한다. 또한 $\tfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$인 경우, $0 \leq \sin(x) \leq 1$이고 $-1 \leq \cos(x) \leq 0$이므로, \[ 0 < \cos(\sin(x)) \leq 1, \qquad -1 < \sin(\cos(x)) \leq 0 \] 이고, 따라서 $f(x) > 0$을 얻는다. 마지막으로 $0 < x < \tfrac{\pi}{2}$인 경우를 살펴보자. 이 경우 다음의 부등식 \[ \cos(\sin(x)) > \cos(x) > \sin(\cos(x)) \] 를 얻는다. 이 때, 첫 번째 부등식에는 구간 $[0,\, \tfrac{\pi}{2}]$에서 $\cos(x)$이 감소함수라는 사실을, 두 번째 부등식에는 임의의 양의 실수 $t$에 대하여 $\sin(t) < t$가 성립한다는 사실을 이용하였다. 따라서 구간 $0 < x < \tfrac{\pi}{2}$에서도 $f(x) > 0$임을 알 수 있다.

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위 사실을 종합하면 구간 $[0,\, \pi]$에서 $f(x) > 0$이므로 주어진 부등식이 성립한다..

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풀이 2. 풀이 1에서와 같이 함수 $f$를 정의한다. 이제 삼각함수 공식들을 이용하여 $f$를 정리하면, \[ \begin{align*} f(x) &= \cos(\sin(x)) - \sin(\cos(x)) \\[5px] &= \sin \left( \frac{\pi}{2} + \sin(x) \right)- \sin(\cos(x)) \\[5px] &= 2 \cos \left( \frac{\tfrac{\pi}{2} + \sin(x) + \cos(x)}{2} \right) \sin \left( \frac{\tfrac{\pi}{2} + \sin(x) - \cos(x)}{2} \right) \end{align*} \] 를 얻는다. 한 편, 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)에 의하면 \[ \abs{\sin(x) \pm \cos(x)} \leq \sqrt{(1^2 + 1^2)(\sin^2(x) + \cos^2(x))} = \sqrt{2} < \frac{\pi}{2} \] 이므로 \[ 0 = \frac{\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}}{2} < \frac{\tfrac{\pi}{2} + \sin(x) \pm \cos(x)}{2} < \frac{\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{2} \] 위 구간에서 $\sin$과 $\cos$의 값은 모두 양수이므로 임의의 실수 $x$에 대하여 $f(x) > 0$가 성립한다..