Tag: Cauchy-Schwarz inequality

확장된 코시-슈바르츠 부등식(extended Cauchy-Schwarz inequality)

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$\newcommand{\bfx}{\mathbf{x}} \newcommand{\bfy}{\mathbf{y}}$코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)은 임의의 내적공간에서 성립하는 다음의 부등식이다. 임의의 $\bfx, \bfy \in V$에 대하여 \[ \abs{\ip{\bfx}{\bfy}}^2 \leq \norm{\vphantom{y}\bfx}^2 \norm{\bfy}^2. \] 특히 $V = \C^n$인 경우 (일반적으로 $V$가 유한차원인 경우),... Read more »

티투의 보조정리(Titu's lemma)

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티투의 보조정리(Titu's lemma)는 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)을 활용하여 여러 분수 형태의 합을 간결하게 비교할 수 있게 해 주는 유용한 부등식이다. $ $ 정리. 티투의 보조정리(Titu's lemma) 양의 실수 $a_1, a_2, \ldots,... Read more »

대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form)에서 성립하는 동치 관계들

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이번 포스트에서는 주어진 $B : V \times V \to \R$가 대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form)일 때 성립하는 동치 관계들에 대하여 알아보고자 한다. 먼저 다음 정의를 살펴보자. $ $ 정의 1. 이중선형형식... Read more »

오목함수(concave function)의 성질을 이용한 부등식의 증명

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주어진 실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$가 임의의 $x,\, y \in I$와 $\lambda \in [0,\, 1]$에 대하여 다음 부등식 \[ f((1-\lambda)x + \lambda y) \leq (1-\lambda)f(x) + \lambda... Read more »