이번 포스트에서는 주어진 $B : V \times V \to \R$가 대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form) 일 때 성립하는 동치 관계들에 대하여 알아보고자 한다. 먼저 다음 정의를 살펴보자.
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정의 1. 이중선형형식 (bilinear form)
실벡터공간 $V$에 대하여, 실함수 $B : V \times V \to \R$가 임의의 $x,\, y,\, z \in V$와 실수 $\alpha \in \R$에 대하여 다음 두 조건
\[ \begin{align*}
B(x + \alpha y,\, z) & = B(x,\, z) + \alpha B(y,\, z) \\[5pt]
B(x,\, y + \alpha z) & = B(x,\, y) + \alpha B(x,\, z)
\end{align*} \]
를 만족하면 $B$를 이중선형형식(bilinear form) 이라 한다. 또한 $B$가 이중선형형식일 때,
대칭성(symmetry) : 임의의 $x,\, y \in V$에 대하여 $B(x,\, y) = B(y,\, x)$가 성립.
양의 준정부호성(positive semidefiniteness) : 임의의 $x \in V$에 대하여 $B(x,\, x) \geq 0$이 성립.
음의 준정부호성(negative semidefiniteness) : 임의의 $x \in V$에 대하여 if $B(x,\, x) \leq 0$이 성립.
준정부호성(semidefiniteness) : 임의의 $x,\, y \in V$에 대하여 $B(x,\, x) B(y,\, y) \geq 0$이 성립.
부정부호성(indefiniteness) : 준정부호 행렬이 아닐 때, 즉, $B(x,\, x) > 0$이고 $B(y,\, y) < 0$을 만족하는 $x,\, y \in V$가 존재.
양의 정부호성(positive definiteness) : 임의의 $0$이 아닌 $x \in V$에 대하여 $B(x,\, x) > 0$이 성립. 즉, 양의 준정부호이면서 $B(x,\, x) = 0 \Rightarrow x = 0$이 성립.
음의 정부호성(negative definiteness) : 임의의 $0$이 아닌 $x \in V$에 대하여 $B(x,\, x) < 0$이 성립. 즉, 음의 준정부호이면서 $B(x,\, x) = 0 \Rightarrow x = 0$이 성립.
을 정의한다.
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위 정의로 부터 다음과 같은 사실을 어렵지 않게 확인해 볼 수 있다.
$B$가 양의 준정부호이거나 음의 준정부호이면, $B$는 준정부호이다.
$B$가 준정부호라 하자. 그러면 임의의 $x,\, y \in V$에 대하여 $B(x,\, x)$와 $B(y,\, y)$는 동시에 음이 아니거나 동시에 양이 아니므로 다음이 성립한다.
\[ \begin{align*}
\abs{B(x,\, x) + B(y,\, y)} & = \abs{B(x,\, x)} + \abs{B(y,\, y)}, \\[5pt]
\abs{B(x,\, x)} \abs{B(y,\, y)} & = B(x,\, x) B(y,\, y).
\end{align*} \]
양의 정부호인 대칭 이중선형형식을 내적(inner product) 라 한다.
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코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)
실벡터공간 $V$ 위에서 정의된 이중선형형식 $B : V \times V \to \R$과 임의의 $x,\, y \in V$에 대하여 부등식
\[ B(x,\, y)^2 \leq B(x,\, x) B(y,\, y) \]
가 성립할 때, $B$가 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality) 을 만족한다고 한다. 다음 정리는 $B$가 대칭 이중선형형식일 때, $B$가 준정부호인 것과 $B$에 대하여 코시-슈바르츠 부등식이 성립하는 것이 서로 동치임을 보여준다.
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정리 1.
실벡터공간 $V$ 위에 대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form) $B : V \times V \to \R$가 정의되었다고 하자. 그러면 $B$가 준정부호(semidefinite) 인 것과 $B$에 대하여 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality) 이 성립하는 것은 서로 동치이다.
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증명. 먼저 $B$가 코시-슈바르츠 부등식을 만족한다고 가정하자. 그러면 임의의 $x,\, y \in V$에 대하여
\[ B(x,\, x) B(y,\, y) \geq B(x,\, y)^2 \geq 0 \]
이 성립하므로, $B$는 준정부호임을 알 수 있다.
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반대로 $B$가 준정부호임을 가정하자. 증명은 두 가지 경우로 나누어서 생각해 볼 것이다.
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먼저 $B(y,\, y) = 0$인 경우를 생각해 보자. 이 경우, $B(x,\, y) = 0$이 성립함을 보여야만 한다. 우선 임의의 양의 실수 $\alpha > 0$에 대하여 $B$의 준정부호성에 의해
\[ B(x + \alpha y,\, x + \alpha y) B(x - \alpha y,\, x - \alpha y) \geq 0 \tag*{$\myblue{(1)}$} \]
이 성립하므로, 우변의 두 항은 모두 음이 아니거나 모두 양이 아니어야만 한다. 먼저 두 항이 모두 음이 아닌 경우를 생각해 보자. 그러면 $B$의 이중선형성과 대칭성에 의해
\[ \begin{align*}
0 & \leq B(x \pm \alpha y,\, x \pm \alpha y) \\[5pt]
& = B(x,\, x) \pm 2\alpha B(x,\, y) + \alpha ^2 B(y,\, y) \\[5pt]
& = B(x,\, x) \pm 2\alpha B(x,\, y)
\end{align*} \]
가 성립하므로, 이를 정리하면
\[ - \frac{B(x,\, x)}{2\alpha} \leq B(x,\, y) \leq \frac{B(x,\, x)}{2\alpha} \tag*{$\myblue{(2)}$} \]
을 얻는다. 부등식 $\myblue{(1)}$의 우변의 두 항이 모두 양이 아닌 경우에도 같은 방법을 이용하면
\[ \frac{B(x,\, x)}{2\alpha} \leq B(x,\, y) \leq - \frac{B(x,\, x)}{2\alpha} \tag*{$\myblue{(3)}$} \]
따라서 부등식 $\myblue{(2)}$와 $\myblue{(3)}$을 결합하면, 임의의 양의 실수 $\alpha > 0$에 대하여 부등식
\[ \abs{B(x,\, y)} \leq \frac{\abs{B(x,\, x)}}{2\alpha} \]
가 성립하고, 위 부등식의 우변에 $\alpha \to 0$의 극한을 취하면 $B(x,\, y) = 0$을 얻는다.
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이번에는 $B(y,\, y) \neq 0$인 경우를 생각해 보자. 그러면
\[ x_1 = \frac{B(x,\, y)}{B(y,\, y)} y, \quad $x_2 = x - x_1 \]
을 정의하여, $x = x_1 + x_2$와 같이 분해할 수 있다. (즉, $x_1$은 $x$의 $y$에 대한 벡터사영(vector projection) 이다.) 그러면 $B$의 이중선형성과 대칭성에 의해
\[ \begin{align*}
B(x_1,\, x_2) & = B \left( \frac{B(x,\, y)}{B(y,\, y)} y,\, x - \frac{B(x,\, y)}{B(y,\, y)} y \right) \\[5pt]
& = \frac{B(x,\, y)}{B(y,\, y)} B(y,\, x) - \frac{B(x,\, y)^2}{B(y,\, y)^2} B(y,\, y) \\[5pt]
& = 0.
\end{align*}\]
즉, $B(x_1,\, x_2) = 0$이 성립함을 알 수 있다. 나아가 $B(x_1,\, x_1) B(x_2,\, x_2) \geq 0$이 성립하므로,
\[ \abs{B(x_1,\, x_1) + B(x_2,\, x_2)} = \abs{B(x_1,\, x_1)} + \abs{B(x_2,\, x_2)} \]
를 얻는다. 이 사실들과 $B$가 준정부호임을 이용하면,
\[ \begin{align*}
\abs{B(x_1,\, x_1)}
& \leq \abs{B(x_1,\, x_1)} + \abs{B(x_2,\, x_2)} \\[5pt]
& = \abs{B(x_1,\, x_1) + B(x_2,\, x_2)} \\[5pt]
& = \abs{B(x_1,\, x_1) + 2B(x_1,\, x_2) + B(x_2,\, x_2)} \\[5pt]
& = \abs{B(a_1 + a_2,\, a_1 + a_2)} \\[5pt]
& = \abs{B(x,\, x)}.
\end{align*} \]
그러므로 $x_1$의 정의를 위 식의 좌변에 다시 대입하여 정리하면,
\[ \frac{B(x,\, y)^2}{B(y,\, y)^2} \abs{B(y,\, y)} \leq \abs{B(x,\, x)}. \]
이다. 이제 위 부등식의 양변에 $\abs{B(y,\, y)}$를 곱하고 정리해주면,
\[ B(x,\, y)^2 \leq \abs{B(x,\, x)} \abs{B(y,\, y)} = B(x,\, x) B(y,\, y) \]
가 되어 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다.$ $
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참고. $B$가 내적인 경우, $B$는 대칭 이중선형형식이면서 ($B$가 양의 정부호이므로) 준정부호이고, 따라서 위 정리에 의해서 코시-슈바르츠 부등식이 성립함을 알 수 있다.
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삼각부등식(Triangle inequality)
실벡터공간 $V$ 위에서 정의된 실함수 $Q : V \to \R$가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 $x \in V$와 실수 $t \in \R$에 대하여
\[ Q(tx) = \abs{t} Q(x) \]
가 성립하면 $Q$를 양의 동차함수(positive homogeneous function) 라 한다. 또한 임의의 $x,\, y \in V$에 대하여
\[ Q(x+y) \leq Q(x) + Q(y) \]
가 성립하면 $Q$를 준가법적 함수(subadditive function) 또는 $Q$에 대하여 삼각부등식(triangle inequality) 이 성립한다고 한다.
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이제 이차선형형식 $B : V \times V \to \R$이 주어졌을 때, 함수 $Q : V \to \R$을 $Q(x) = \sqrt{B(x,\, x)}$로 정의하자. 그러면 임의의 $x \in V$와 실수 $\alpha \in \R$에 대하여
\[ Q(\alpha x) = \sqrt{\abs{B(\alpha x,\, \alpha x)}} = \abs{\alpha} \sqrt{\abs{B(x,\, x)}} = \abs{\alpha} Q(x) \]
이므로 $Q$는 양의 동차함수임을 알 수 있다. 이번에는 $Q$가 대칭 이차선형형식 $B$로부터 유도되었을 때, $B$가 준정부호인 것과 $Q$에 대하여 삼각부등식이 성립하는 것이 서로 동치임을 보일 것이다.
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정리 2.
실벡터공간 $V$ 위에 대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form) $B : V \times V \to \R$가 정의되었다고 하자. 함수 $Q : V \to \R$을 $Q(x) = \sqrt{\abs{B(x,\, x)}}$로 정의하자. 그러면 $B$가 준정부호(semidefinite) 인 것과 $Q$에 대하여 삼각부등식(triangle inequality) 이 성립하는 것은 서로 동치이다.
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증명. 먼저 $Q$에 대하여 삼각부등식이 성립하지만, 결론에 반하여 $B$가 준정부호가 아니라 가정해 보자. 그러면 $B(x,\, x) > 0$이고 $B(y,\, y) < 0$을 만족하는 $x,\, y \in V$가 존재한다. 이제 다음 이차함수
\[ f(x) = B((1-t)x + ty,\, (1-t)x + ty) \]
를 생각해 보자. 그러면 $f(0) = B(x,\, x) > 0$이고 $f(1) = B(y,\, y) < 0$이 성립한다. 한 편,
\[ \begin{align*}
f(t) & = B((1-t)x + ty,\, (1-t)x + ty) \\[5pt]
& = (1-t)^2 B(x,\, x) + 2t(1-t) B(x,\, y) + t^2 B(y,\, y) \\[5pt]
& = t^2 \Big[ B(x,\, x) - 2B(x,\, y) + B(y,\, y) \Big] - 2t \Big[ B(x,\, x) - B(x,\, y) \Big] + B(x,\, x) \\[5pt]
& = t^2 B(x-y,\, x-y) -2t B(x,\, x-y) + B(x,\, x)
\end{align*} \]
이므로 판별식(discriminant) 을 계산해 보면
\[ \begin{align*}
\frac{\triangle(f)}{4} & = B(x,\, x-y)^2 - B(x-y,\, x-y) B(x,\, x) \\[5pt]
& = \Big[ B(x,\, x) - B(x,\, y) \Big]^2 - \Big[ B(x,\, x) - 2B(x,\, y) + B(y,\,y) \Big] B(x,\, x) \\[5pt]
& = B(x,\, y)^2 - B(x,\, x) B(y,\, y)
\end{align*} \]
를 얻는다. 여기서 $B(x,\, x) B(y,\, y) < 0$이므로 $\triangle(f) > 0$이고, 따라서 $f(t) = 0$은 두개의 실근을 갖는다. 이 두 실근을 각각 $t_1 < t_2$라 하자. 이제 $f$의 그래프의 개형을 생각해 보면, $0 < t_1 < 1 < t_2$ 또는 $t_1 < 0 < t_2 < 1$이 성립해야만 한다. 일반성을 잃지 않고 $0 < t_1 < 1 < t_2$를 가정해 보자. 그리고 $z_1 = (1-t_1)x + t_1y$, $z_2 = (1-t_2)x + t_2y$라 하자. 그러면 $B(z_1,\, z_1) = B(z_2,\, z_2) = 0$임을 알 수 있다. 또한 $x,\, z_1,\, y,\, z_2$가 모두 일직선 상에 위치하므로, $y$는 $z_1$과 $z_2$의 볼록결합(convex combination) 으로 나타낼 수 있다. 즉, 적당한 실수 $0 < s < 1$가 존재하여, $y = (1-s)z_1 + s z_2$와 같이 표현 가능하다.
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이제 $Q$에 대하여 삼각부등식이 성립함을 가정했고, 또한 $Q$는 양의 동차성을 가지므로
\[ \begin{align*}
0 \leq Q(y) & = Q((1-s)z_1 + sz_2) \\[5pt]
& \leq Q((1-s)z_1) + Q(sz_2) \\[5pt]
& = (1-x)Q(z_1) + sQ(z_2) \\[5pt]
& = (1-s)\sqrt{\abs{B(z_1,\, z_1)}} + s\sqrt{\abs{B(z_2,\, z_2)}} = 0
\end{align*} \]
가 되어 $Q(y) = 0$임을 알 수 있다. 하지만 동시에 $Q(y) = \sqrt{\abs{B(y,\, y)}} > 0$이 되어 모순이 발생하고, 따라서 $B$는 준정부호가 되어야만 한다는 사실을 확인할 수 있다.
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이번에는 $B$가 준정부호임을 가정하자. 그러면 정리 1 에 의해서 $B$에 대하여 코시-슈바르츠 정리가 성립한다. 그러므로
\[ \begin{align*}
Q(x+y)^2 & = \abs{B(x+y,\, x+y)} \\[5pt]
& = \abs{B(x,\, x) + 2 B(x,\, y) + B(y,\, y)} \\[5pt]
& \leq \abs{B(x,\, x)} + 2 \abs{B(x,\, y)} + \abs{B(y,\, y)} \\[5pt]
& \leq \abs{B(x,\, x)} + 2 \sqrt{B(x,\, x) B(y,\, y)} + \abs{B(y,\, y)} \\[5pt]
& = \abs{B(x,\, x)} + 2 \sqrt{\abs{B(x,\, x)} \abs{B(y,\, y)}} + \abs{B(y,\, y)} \\[5pt]
& = \abs{B(x,\, x)} + 2 \sqrt{\abs{B(x,\, x)}} \sqrt{\abs{B(y,\, y)}} + \abs{B(y,\, y)} \\[5pt]
& = Q(x)^2 + 2 Q(x) Q(y) + Q(y)^2 \\[5pt]
& = (Q(x) + Q(y))^2.
\end{align*} \]
따라서 양변에 제곱근을 취해주면 삼각부등식을 얻는다.$ $
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참고. 따라서 정리 2 에 의해 $B$가 준정부호 대칭 이중선형형식이면, 이로부터 유도되는 $Q$는 양의 동차성을 가지면서 삼각부등식을 만족함을 알 수 있다. 따라서 $Q$는 반노름(seminorm) 이 된다. 나아가 $B$가 양의 정부호이면, 이로부터 유도되는 $Q$ 또한 양의 정부호이므로 $Q$는 노름(norm) 이 됨을 알 수 있다.
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