오목함수(concave function)의 성질을 이용한 부등식의 증명

      Comments Off on 오목함수(concave function)의 성질을 이용한 부등식의 증명

주어진 실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$가 임의의 $x,\, y \in I$와 $\lambda \in [0,\, 1]$에 대하여 다음 부등식

\[ f((1-\lambda)x + \lambda y) \leq (1-\lambda)f(x) + \lambda f(y) \tag*{$\myblue{(1)}$} \]

를 만족하면 $f$는 $I$ 위에서 볼록(convex)이라 한다. 또한 식 $\myblue{(1)}$의 부등호의 방향이 반대인 경우, $f$는 $I$ 위에서 오목(concave)이라 한다. 수학에서 볼록함수(convex function)와 오목함수(concave function)은 특정한 형태의 부등식을 증명하는데 쓰이는 강력한 도구 중 하나이다. 만약에 주어진 함수 $f$가 오목이라면 (정의에 의해) $-f$는 반드시 볼록이기 때문에, 보통 부등식을 증명할 때에는 필요하다면 $-$ 부호를 붙여 $f$가 볼록임을 가정하는 것이 일반적이다. 하지만 이번 글에서는 반대로 $f$가 오목함수인 경우 유용하게 사용할 수 있는 정리에 대해서 알아볼 것이다. 우선 오목함수에 대한 젠센 부등식(Jensen inequality)을 살펴보자.

$ $

정리. 젠센 부등식(Jensen inequality)

함수 $f : I \subseteq \R \to \R$가 오목함수라 하자. 그러면 임의의 $x_1,\, \ldots,\, x_n \in I$와 $\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = 1$을 만족하는 양의 실수 $\lambda_1,\, \ldots,\, \lambda_n$에 대하여,

\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i) \leq f \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i \right) \tag*{$\myblue{(2)}$} \]

가 성립한다. 만약 $f$가 볼록함수이면, 위 부등식의 부호가 반대이다.

$ $

이제 함수 $f : \R \to \R$가 $\R$ 전체에서 오목이라 가정하고, 다음과 같이 $F : \R \times \R_{++} \to \R$을 정의하자. (단, $\R_{++}$는 양의 실수 전체의 집합을 나타낸다.)

\[ F(x,\, y) = y \cdot f \Big( \frac{x}{y} \Big) \]

그러면 다음 정리가 성립한다.

$ $

정리. 이변수 젠센 부등식(bivariate Jensen inequality)

$\R$ 전체에서 오목인 함수 $f : I \subseteq \R \to \R$에 대하여, $F(x,\, y)$를 위와 같이 정의하자. 그러면 임의의 $x_1,\, \ldots,\, x_n \in I$와 $y_1,\, \ldots,\, y_n \in \R_{++}$에 대하여

\[ \sum_{i=1}^{n} f(x_i,\, y_i) \leq f \left( \sum_{i=1}^{n} x_i,\, \sum_{i=1}^{n} y_i \right) \tag*{$\myblue{(3)}$} \]

가 성립한다. 만약 $f$가 볼록함수이면, 위 부등식의 부호가 반대이다.

$ $

증명. $i = 1,\, \ldots,\, n$에 대하여 $\lambda_i = y_i / (y_1 + \cdots + y_n) > 0$로 정의하자. 그러면 $\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = 1$이 성립함을 간단히 확인할 수 있다. $f$는 오목함수임을 가정했으므로, 젠센 부등식에 의해

\[ \begin{align*} \sum_{i=1}^{n} F(x_i,\, y_i) & = \sum_{i=1}^{n} y_i \cdot f \Big( \frac{x_i}{y_i} \Big) \\[5px] & = (y_1 + \cdots + y_n) \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{y_1 + \cdots + y_n} f \Big( \frac{x_i}{y_i} \Big) \\[5px] & \leq (y_1 + \cdots + y_n) \cdot f \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{y_1 + \cdots + y_n} \cdot \frac{x_i}{y_i} \right) \\[5px] & = (y_1 + \cdots + y_n) \cdot f \left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{y_1 + \cdots + y_n} \right) \\[5px] & = F(x_1 + \cdots + x_n,\, y_1 + \cdots + y_n) \end{align*} \]

따라서 이변수 젠센 부등식이 성립한다. 한 편, $f$가 볼록함수인 경우, 위 부등식의 부호 또한 반대이므로 원하는 결론을 얻는다.$ $

$ $

위의 이변수 젠센 부등식을 이용하면 잘 알려진 몇 가지 부등식을 간단히 증명할 수 있다.

$ $

예제 1. 함수 $f(x) = \sqrt{x}$는 $\R_+$ 위에서 오목함수이다. 또한

\[ F(x,\, y) = y \cdot f \Big( \frac{x}{y} \Big) = y \cdot \sqrt{\frac{x}{y}} = \sqrt{x} \sqrt{y} \]

가 성립한다. 따라서 이변수 젠센 부등식에 의해

\[ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{x_i} \sqrt{y_i} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_i} \]

가 성립함을 알 수 있다. 이제 위 식에 $x_i = a_i^2$, $y_i = b_i^2$를 대입하고 양변을 제곱하면,

\[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \]

즉, 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)가 성립함을 증명할 수 있다.$ $

$ $

예제 2. 티투의 보조정리(Titu's lemma)라고 불리는 정리는 코시-슈바르츠 부등식의 따름정리로 얻을 수 있는 부등식으로, 올림피아드 문제에서 분수 형태가 등장하는 부등식을 증명할 때 요긴하게 사용된다. 티투의 보조정리를 증명하기 위해서 $f(x) = x^2$를 생각해 보자. 그러면 $f$는 $\R$위에서 볼록함수이고, $F(x,\, y) = \frac{x^2}{y}$를 얻는다. 이제 부등식의 방향에 주의하면서 이변수 젠센 부등식을 적용하면 임의의 실수 $x_1,\, \ldots,\, x_n \in \R$과 양의 실수 $y_1,\, \ldots,\, y_i \in \R_{++}$에 대하여

\[ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^2}{y_i} \geq \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2 \bigg/ \left( \sum_{i=1}^{n} y_i \right) \]

가 되어 원하는 결과를 얻는다.$ $

$ $

예제 3. 이번에는 이변수 젠센 부등식을 이용하여 일반화된 횔더 부등식(generalized Holder inequality)를 증명해보자. 일반화된 횔더 부등식이란, 양의 정수 $p,\, q,\, r$이 $\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$를 만족한다고 하자. 이제 $f(x) = x^{\frac{r}{p}}$로 정의하자. 그러면 $\frac{r}{p} < 1$이므로 $f$는 $\R_{+}$에서 오목함수이다. 한 편, $1 - \frac{r}{p} = \frac{r}{q}$가 성립하므로

\[ F(x,\, y) = y \cdot f \Big( \frac{x}{y} \Big) = y \cdot \Big( \frac{x}{y} \Big)^{\frac{r}{p}} = x^{\frac{r}{p}} y^{1 - \frac{r}{p}} = x^{\frac{r}{p}} y^{\frac{r}{q}} \]

를 얻는다. 따라서 이변수 젠센 부등식에 의해

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i^{\frac{r}{p}} y_i^{\frac{r}{q}} \leq \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{r}{p}} \left( \sum_{i=1}^{n} y_i \right)^{\frac{r}{q}} \]

가 성립한다. 이제 $x_i = \abs{a_i}^{p}$, $y_i = \abs{b_i}^{q}$를 대입하여 정리하면,

\[ \sum_{i=1}^{n} \abs{a_i}^{r} \abs{b_i}^{r} \leq \left( \sum_{i=1}^{n} \abs{a_i}^{p} \right)^{\frac{r}{p}} \left( \sum_{i=1}^{n} \abs{b_i}^{q} \right)^{\frac{r}{q}} \]

마지막으로 위 식의 양변에 $r$ 제곱근을 취하면 일반화된 횔더 부등식 $\norm{a \ast b}_r \leq \norm{a}_p \norm{b}_q$를 얻는다. (단, $a \ast b = (a_1b_1,\, a_2b_2,\, \ldots,\, a_nb_n) \in \R^n$로 정의한다.) 이 부등식의 특수한 경우로 $r=1$인 경우, 즉, $1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$가 성립하는 경우, 일반적인 횔더 부등식 $\norm{a \ast b}_1 \leq \norm{a}_p \norm{b}_q$을 얻고, 나아가 $p = q = 2$인 경우, 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다.$ $

$ $

예제 4. 민코브스키 부등식(Minkowski inequality)는 $p$-노름(norm)에 대하여 삼각부등식(triangle inequality)가 성립함을 알려주는 중요한 부등식 중 하나로써, 임의의 양의 정수 $p$와 $a,\, b \in \R^n$에 대하여, $\norm{a+b}_p \leq \norm{a}_p + \norm{b}_p$가 성립함을 알려준다. 이를 증명하기 위해서 주어진 양의 정수 $p$에 대하여 $f(x) = (x^{\frac{1}{p}} + 1)^p$로 정의하자. 그러면 $f$는 $\R_+$ 위에서 오목함수임을 어렵지 않게 보일 수 있다. 한 편,

\[ F(x,\, y) = y \cdot f \Big( \frac{x}{y} \Big) = y \left( \Big( \frac{x}{y} \Big)^{\frac{1}{p}} + 1 \right)^p = \left( y^{\frac{1}{p}} \Big( \frac{x}{y} \Big)^{\frac{1}{p}} + y^{\frac{1}{p}} \right)^p = \left( x^{\frac{1}{p}} + y^{\frac{1}{p}} \right)^p \]

이므로 이변수 젠센 부등식에 의해

\[ \sum_{i=1}^{n} \left( x_i^{\frac{1}{p}} + y_i^{\frac{1}{p}} \right)^p \leq \left[ \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{i=1}^{n} y_i \right)^{\frac{1}{p}} \right]^{p} \]

가 성립함을 알 수 있다. 이제 위 식에 $x_i = \abs{a_i}^p$, $y_i = \abs{b_i}^p$를 대입하고 임의의 $a_i,\, b_i$에 대하여 $\abs{a_i + b_i} \leq \abs{a_i} + \abs{b_i}$임을 이용하면,

\[ \begin{align*} \norm{a+b}_p^p & = \sum_{i=1}^{n} \abs{a_i + b_i}^p = \sum_{i=1}^{n} \left( \abs{a_i} + \abs{b_i} \right)^p \\[5px] & \leq \left[ \left( \sum_{i=1}^{n} \abs{a_i}^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{i=1}^{n} \abs{b_i}^p \right)^{\frac{1}{p}} \right]^{p} = \left[ \norm{a}_p + \norm{b}_p \right]^{p} \end{align*} \]

을 얻는다. 마지막으로 위 부등식의 양변에 $p$ 제곱근을 취해주면 민코브스키 부등식을 얻는다.$ $

$ $

예제 5. 마지막으로 밀른의 부등식(Milne's inequality)으로 불리는 다음 부등식

\[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + b_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^2 b_i^2}{a_i^2 + b_i^2} \right) \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \]

을 증명해 보도록 하자. 위 식을 보면 밀른의 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 개선한 부등식임을 알 수 있다. 우선 위 식의 첫번째 부등식은 티투의 보조정리(Titu's lemma)의 양변에 각각의 $i$에 대하여 $x_i = a_ib_i \in \R$, $y_i = a_i^2 + b_i^2 \in \R_{++}$를 대입하여 정리하면 얻을 수 있다. 이제 두번째 부등식을 증명하기 위해 함수 $f(x) = \frac{x}{1+x}$를 정의하자. 그러면 $f$는 $\R_+$에서 (좀 더 정확히는 $[-1,\, \infty)\vphantom{]}$에서) 오목함수이고, $F(x,\, y) = y \cdot f \big( \frac{x}{y} \big) = \frac{xy}{x+y}$를 얻는다. 따라서 이변수 젠센 부등식에 의해

\[ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i y_i}{x_i + y_i} \leq \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n} y_i \right) \bigg/ \left( \sum_{i=1}^{n} x_i + y_i \right) \]

이 성립한다. 이제 위 식에 $x_i = a_i^2$, $y_i = b_i^2$를 대입하고 양변을 정리하여 두번째 부등식을 얻을 수 있다.$ $