수학에서의 공간(Space)이란 집합에 어떠한 연산 혹은 구조를 부여한 것을 말한다. 수학의 모든 정의가 어떤 특정한 공간 위에서 이루어지고 어떠한 공간에서 성립하는 정의가 다른 공간에서는 성립하지 않는 경우가 많기 때문에, 지금 내가 다루고 있는 대상이 속해있는 공간을 우선적으로 파악하는 것이 중요하다. 이번 포스트에서는 다양한 공간의 정의에 대해서 다루어 보고자 한다.
1. 위상공간 (Topological Space)
집합 \(X\)가 있다고 하자. 위상공간(Topological Space) \( \left( X, \mathcal{T} \right) \) 란 집합 \(X\)와 다음의 조건을 만족하는 \(X\)의 부분집합들의 모임 \( \mathcal{T} \)를 말한다.
- 공집합(empty set) \( \emptyset \)과 \(X\)는 \( \mathcal{T} \)의 원소이다.
- \( \mathcal{T} \) 안의 임의의 원소들의 합집합도 \( \mathcal{T} \)의 원소이다.
- \( \mathcal{T} \) 안의 유한한 원소들의 교집합도 \( \mathcal{T} \)의 원소이다.
여기서 \( \mathcal{T} \)를 위상공간 \(X\)의 위상(Topology)라 한다. 그리고 \( \mathcal{T} \) 안의 원소를 위상공간 \(X\) 에서의 열린 집합(open set)이라 하고, 위상공간 \(X\) 에서 \( \mathcal{T} \)의 어느 원소를 뺀 차집합을 닫힌 집합(closed set)이라 한다.
2. 벡터공간 (Vector Space)
복소수체(complex field)의 부분체 \(\mathbb{F}\)가 있다고 하자. 이때 집합 \(V\)의 원소 \(x,y \)와 \(\mathbb{F}\)의 원소 \( \alpha \)에 대하여 두 연산
- 벡터 합(vector addition): \( x+y \)
- 스칼라 곱(scalar multiplication): \( \alpha x \)
이 정의되고 다음의 조건을 만족하면 집합 \(V\)를 체 \(\mathbb{F}\) 위의 벡터공간(vector space \(V\) over a field \( \mathbb{F} \))이라 하고 \(V\)의 원소들을 벡터(vector), 체 \( \mathbb{F} \)의 원소들을 스칼라(scalar)라고 부른다.
\(V\)의 원소 \( x,y,z \)와 \( \mathbb{F} \)의 원소 \( \alpha, \beta \)에 대하여
- \( x+y \in V \).
- \( x+y = y+x \).
- \( x+(y+z) = (x+y)+z \).
- \(V\)에 항등원(identity) \(0\)이 존재하여, \(x+0 = 0+x = x \).
- \(x + (-x) = (-x)+x = 0\)을 만족하는 \(x\) 의 역원 \(-x\)가 \(V\)에 존재한다.
(따라서 (1)-(5)에 의하여, \(V\)가 벡터 합에 대하여 가환군(Abelian group)을 이룸을 알 수 있다.)
- \( \alpha x \in V \).
- \( \alpha ( \beta x ) = ( \alpha \beta ) x \).
- \(1\)이 체 \( \mathbb{F} \)의 항등원일 때, \( 1 x = x \).
- \( \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y \).
- \( (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x \).
3. 거리공간 (Metric Space)
집합 \(M\)에 대하여, 함수 \( d : M \times M \leftarrow \mathbb{R} \)가 다음조건을 만족시킬 때, \(d\)를 \(M\) 위의 거리함수(metric 혹은 distance function) 이라 하고 \(M\)과 거리 함수 \(d\)가 주어진 공간 \( \left(M, d \right) \)를 거리공간이라 한다.
\(M\)의 임의의 원소 \( x,y,z \)에 대하여,
- \( d(x,y) \geq 0 \).
- \( d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y \).
- \( d(x,y) = d(y,x) \).
- \( d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \).
이때 주어진 거리공간 \( \left(M, d \right) \)에 대하여, \(M\)의 원소들로 이루어진 코시 수열(Cauchy sequence)이 항상 \(M\) 안에서 수렴값(limit)를 가질때 이 거리공간을 완비거리공간(complete metric space) 혹은 코시 공간(Cauchy space)이라 한다.
4. 노름공간 (Normed Vector Space)
\(V\)를 복소수체의 부분체 \(\mathbb{F}\) 위에서의 벡터 공간이라 하자. \(V\)의 원소들의 ‘크기’를 부여하는 함수 \( p : V \leftarrow \mathbb{R} \)가 다음 조건을 만족할 때, \(V\)의 원소 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)를 \(V\)의 반노름(seminorm)이라 한다.
\(V\)의 임의의 원소 \( x,y \)와 \(\mathbb{F}\)의 임의의 원소 \(\alpha\)에 대하여,
- \( p( \alpha x) = | \alpha |p(x) \).
- \( p(x+y) \leq p(x) + p(y) \).
위 두 조건으로부터 \( p(0) = 0 \) 임을 알 수 있으며, 따라서 모든 \(x \in V \)에 대하여 \( p(x) \geq 0 \)이 성립한다. 또한, 반노름 \(p\)가 다음의 조건까지 만족하면 이를 노름(norm)이라 한다.
- \( p(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \)
보통 노름 함수 \(p\) 는 \(|| \cdot ||\)로 나타낸다.
여기서 벡터공간 \(V\)와 노름 함수 \(|| \cdot ||\)가 주어진 공간 \( \left( V, || \cdot || \right) \)를 노름벡터공간(normed vector space) 또는 노름공간(normed space)이라 한다. 또한, 완비(complete)인 노름공간을 완비노름공간(complete normed vector space) 또는 바나흐 공간(Banach space)이라 한다.
5. 내적공간 (Inner Product Space)
\(V\)를 복소수체의 부분체 \( \mathbb{F}\) 위에서의 벡터 공간이라 하자. 이때 다음의 조건을 만족하는 함수 \( \left< \cdot, \cdot \right> : V \times V \leftarrow \mathbb{F} \)를 내적(inner product)이라 한다.
\(V\)의 원소 \( x,y,z \)와 \(\mathbb{F}\)의 원소 \( \alpha, \beta \)에 대하여
- \( \left< x,y \right> = \overline{\left< y,x \right>} \) (따라서 \( \left< x,x \right> \in \mathbb{R} \)이 성립한다.)
- \( \left< \alpha x, y \right> = \alpha \left< x,y \right> \) 이고 \( \left< x+y,z \right> = \left< x,z \right>+\left< y,z \right> \).
- \( \left< x,x \right> \geq 0 \).
- \( \left< x,x \right> = 0 \Leftrightarrow x=0 \)
(따라서 (1)에 의해, \( \left< x, \beta y \right> = \bar{\beta} \left< x,y \right> \) 이고 \( \left< x,y+z \right> = \left< x,y \right>+\left< x,z \right> \).)
여기서 벡터공간 \(V\)와 내적 함수 가 주어진 공간 \( \left( V,\left< \cdot , \cdot \right>\right) \)를 내적공간(inner product space)라 한다. 또한 내적으로부터 주어지는 노름에 대하여 완비(complete)인 내적공간을 완비내적공간(complete inner product space) 또는 힐베르트 공간(Hilbert space)이라 한다.
6. 유클리드 공간 (Euclidean Space)