평균(mean)에 대하여 - 2. 젠센부등식과 이를 이용한 증명들

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저번 포스트에서 다양한 방법으로 정의되는 평균들에 대한 소개와, 이를 한꺼번에 아우르는 멱평균(power mean)에 대해 살펴보았다. 또한 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리우는 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이에 성립하는 절대부등식을 소개하였다.

\[ \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n} \leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_{i}} \leq \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}} \]

실제로 이 부등식은 \(n\)에 대한 수학적 귀납법(mathematical induction)을 이용하면 어렵지 않게 증명할 수 있다. 이번 포스트에서는 젠센부등식(Jensen's inequality)을 이용한 산술-기하-조화평균 부등식과 서로 다른 두 멱평균에 대한 부등식을 각각 증명할 것이다.

 

젠센부등식이랑 볼록함수 \(f\)에 대해 성립하는 다음의 부등식을 말한다. \(f(x)\)가 구간 \(I\)에서 볼록함수(convex function)이라 하자. 그러면 \(I\) 위의 임의의 점 \(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)과 \(\sum_{i=1}^{n}p_{i}=1\)를 만족하는 양수 \(p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}\) 대하여,

\[f\left(\sum_{i=1}^{n}p_{i}a_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{n}p_{i}f(a_{i})\]

가 성립한다.

 

이에 대한 증명 역시 수학적 귀납법을 이용하면 간단하게 정리할 수 있으니 한번 집고 넘어가도록 하자.

우선 \(n=1\)인 경우는 자명하다. 또한 \(n=2\) 인 경우에도 볼록함수의 정의에 의해 자명함을 알 수 있다. 이제 \(n=k\)일 때, 젠센부등식이 성립한다고 가정하자. 우리는 젠센부등식이 \(n=k+1\)일 때 역시 성립함을 보여야 한다. 이를 위해 우선 \(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n+1}\)이 구간 \(I\) 위의 임의의 점, \(p_{1},p_{2},\cdots,p_{n+1}\)이 \(\sum_{i=1}^{n+1}p_{i}=1\)을 만족하는 양수라 하자. 이 부분합의 양변에 \(p_{k+1}\)을 빼고 \(1-p_{k-1}\)으로 나누어 주면 다음을 얻는다.

\[\sum_{i=1}^{n}\frac{p_{i}}{1-p_{k+1}}=1\]

따라서 귀납법 가정에 의하여,

\[f\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{p_{i}}{1-p_{k+1}}a_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{n}\frac{p_{i}}{1-p_{k+1}}f(a_{i})\]

을 얻는다. 그러므로,

\[ \begin{align*} \sum_{i=1}^{k+1}p_{i} f(a_{i}) & = \sum_{i=1}^{k}p_{i} f(a_{i})+p_{k+1}f(a_{k+1}) \\[5pt] & = (1-p_{k+1})\sum_{i=1}^{k}\frac{p_{i}}{1-p_{k+1}}f(a_{i}) + p_{k+1}f(a_{k+1}) \\[5pt] & \geq (1-p_{k+1})f\left(\sum_{i=1}^{k}\frac{p_{i}}{1-p_{k+1}}a_{i} \right) + p_{k+1}f(a_{k+1}) \\[5pt] & \geq f\left((1-p_{k+1})\sum_{i=1}^{k}\frac{p_{i}}{1-p_{k+1}}a_{i} + p_{k+1}a_{k+1}\right) \\[5pt] & \geq f\left(\sum_{i=1}^{k}p_{i}a_{i} + p_{k+1}a_{k+1}\right) \\[5pt] & = f\left(\sum_{i=1}^{k+1}p_{i}a_{i} \right) \end{align*} \]

이것으로 \(n=k+1\)일 때에도 성립함을 보였다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 젠센 부등식이 성립한다.

 

이제 젠센부등식을 이용하여 산술-기하평균 부등식을 증명해보자. 이를 위해 \(f(x)=-\ln{x}\)라 하자. 이계도함수(second derivative)를 이용하면 이 함수는 \(x>0\)인 범위에서 볼록함수임을 쉽게 알 수 있다. 이제 \(p_{1}=p_{w}=\cdots=p_{n}\)이라 놓고, 함수 \(f\)에 젠센부등식을 적용하면,

\[-\ln\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}a_{i}\right) \leq -\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\ln(a_{i})\]

양변에 \(-1\)을 곱하고 로그함수의 성질을 이용하면,

\[ \ln\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}a_{i}\right) \geq \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\ln(a_{i}) = \frac{1}{n} \ln\left(\prod_{i=1}^{n}a_{i}\right) = \ln\left(\prod_{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac{1}{n}} \]

로그함수는 단조증가(increasing)이므로 양변에 지수함수를 취해주면 산술-기하평균 부등식을 얻을 수 있다.

 

또한 산술-기하평균 부등식에 \(a_{i}\) 대신에 \(\frac{1}{a_{i}}\)를 대입하고 역수를 취해주면, 기하-조화평균 부등식 또한 간단히 증명할 수 있다. 따라서 젠센부등식에 의해 산술-기하-조화평균 부등식이 성립한다.

 

이제 서로 다른 두 멱평균에 대한 다음의 부등식을 살펴보자. \(0\)이 아닌 두 실수 \(p<q\)에 대하여,

\[\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{p}}\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{q}}\right)^{\frac{1}{q}}\]

만약 위의 부등식이 성립한다면, 이전 포스트에서 다루었던 멱평균과 다른 평균들간의 관계에 의하여, 산술-기하-조화평균을 따름정리로써 증명할 수 있다. 이제 멱평균 부등식을 증명해 보자. \(p\)와 \(q\)의 부호에 따라 \(0<p<q\), \(p<0<q\), \(p<q<0\)의 세가지 경우를 생각해보자. 먼저 \(0<p<q\)인 경우, 함수를 \(f(x)=x^{q/p}\)라 하자. \(f\)의 이계도함수를 구해보면 \(f''(x)=\frac{q}{p}(\frac{q}{p}-1)x^{\frac{q}{p}-2}\)이 되므로 \(x>0\)인 범위에서 볼록함수임을 알 수 있다. 따라서 젠센 부등식에 의하여,

\[\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{p}}\right)^{\frac{q}{p}} \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left(a_{i}^{p}\right)^{\frac{q}{p}}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{q} \]

이 되고, \(f\)는 단조증가이므로 양변에 \(q\) 제곱근을 취해주면 멱평균 부등식을 얻는다.

\[\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{p}}\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{q}}\right)^{\frac{1}{q}}\]

 

마지막으로 멱평균 부등식을 이용하여, 산술-기하-조화평균 부등식을 다시 확인해보자. 멱평균 부등식에 의하면 다음의 부등식을 확인할 수 있다.

\[M_{1}(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) \geq \lim_{p \rightarrow 0} M_{p}(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) \geq M_{-1}(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\]

위 부등식의 각 항들은 각각 산술평균, 기하평균, 조화평균이 되므로 산술-기하-조화평균 부등식을 얻는다.