Problems and Solutions #083

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두 양항수열(positive sequence) $(a_n)_{n=1}^{\infty}$과 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치임을 증명하여라.

  1. 두 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{c_n}$과 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{b_n}$가 모두 수렴하게 하는 양항수열 $(c_n)_{n=1}^{\infty}$이 존재한다.
  2. 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{a_n}{b_n}}$가 수렴한다.

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풀이. $\myblue{(1) \Rightarrow (2)}$ 우선 $\myblue{(1)}$이 성립함을 가정하자. 그러면 임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, 산술평균-기하평균 부등식(AM-GM inequality)에 의해 다음이 성립한다. \[ \sqrt{\frac{a_n}{b_n}} = \sqrt{\frac{a_n}{c_n} \cdot \frac{c_n}{b_n}} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{a_n}{c_n} + \frac{c_n}{b_n} \right) \] 그러므로 위 부등식의 양변에 무한급수를 취하면 다음을 얻는다. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{a_n}{b_n}} \leq \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{c_n} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{b_n} < \infty \] 따라서 $\myblue{(2)}$가 성립한다.

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$\myblue{(2) \Rightarrow (1)}$ 각각의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 $c_n = \sqrt{a_nb_n}$으로 정의하자. 그러면 \[ \frac{a_n}{c_n} = \frac{a_n}{\sqrt{a_nb_n}} = \sqrt{\frac{a_n}{b_n}}, \quad \frac{c_n}{b_n} = \frac{\sqrt{a_nb_n}}{b_n} = \sqrt{\frac{a_n}{b_n}} \] 가 성립함을 알 수 있다. 따라서 $\myblue{(2)}$가 성립하면 $\myblue{(1)}$ 또한 성립한다.$ $

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