Author Archives: Juyoung Jeong

피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 2

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이번 글에서는 저번 글 피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1 에서 증명한 피보나치/루카스 수열과 삼각함수와의 관계를 다시 한 번 정리하면 다음과 같다: 임의의 음이 아닌 정수 $n \in... Read more »

피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1

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피보나치 수열(Fibonacci sequence)은 $F_{0} = 0$, $F_{1} = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$으로 정의된 대중적으로 가장 잘 알려진 수열 중 하나이다. 이 수열에 대한 성질에 대하여 몇 개의 글을... Read more »

평균값 정리(mean value theorem)의 다양한 변형

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평균값 정리(mean value theorem)는 두 점을 잇는 잘 정의된 곡선에 대하여, 이 곡선의 양 끝 점을 잇는 할선과 평행한 접선이 반드시 존재함을 알려 준다. 이 정리를 수학적으로 다시 적으면 다음과... Read more »

특수한 형태의 무한급수와 벨수(Bell number), 감마함수(gamma function)와의 연관성

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이전 글에서 특수한 형태의 무한급수 (다항함수를 지수함수 또는 계승함수로 나눈 꼴의 무한급수) 의 값을 계산하는 일반적인 방법에 대하여 알아보았다. 다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값 다항함수/계승함수 형태로 이루어진 무한급수의 값 위... Read more »

다항함수/계승함수 형태로 이루어진 무한급수의 값

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이전 글 다항함수/지수함수 형태로 이루어진 된 무한급수의 값 에서 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 생각해 보았다. 이번에는 다음과 같이 \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3... Read more »

다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값

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이번 글에서는 다음과 같이 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수들 \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2-3n+2}{4^{n+1}}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-2)^3}{(-3)^n} ,\, \ldots \] 의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 알아볼 것이다. 이를... Read more »

실수와 복소수 사이의 이상한 관계

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집합론을 배우면서 접하게 되는 (직관에 반하는) 정리 중의 하나는, $\R$은 $\C$의 진부분집합(proper subset)임에도 불구하고, $\R$과 $\C$의 기수(cardinality)가 같다는 사실이다. 따라서 집합론적인 관점에서는 $\R$과 $\C$를 같은 집합, 즉 동형(isomorphic)이라고 보아도 크게... Read more »

피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 그래프(graph)

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피보나치 수열은 $F_{1} = F_{2} = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$으로 귀납적으로 정의되는 수열로서 전혀 관련이 없는듯 보이는 수학의 여러가지 분야에서 심심치 않게 등장하고는 한다. 아래 글은 피보나치 수열의... Read more »

두 행렬(matrix)의 기하평균(geometric mean)에 대하여

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주어진 두 실수 $a,\, b \in \R$의 평균(mean)을 구하는 다양한 방법이 존재하지만, 그 중에서 가장 잘 알려진 평균으로는 $a,\, b$의 산술평균(arithmetic mean): $A(a,\,b) = \dfrac{a+b}{2}$ 기하평균(geometric mean): $G(a,\, b) =... Read more »