Category: Abstract Algebra

실수와 복소수 사이의 이상한 관계

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집합론을 배우면서 접하게 되는 (직관에 반하는) 정리 중의 하나는, $\R$은 $\C$의 진부분집합(proper subset)임에도 불구하고, $\R$과 $\C$의 기수(cardinality)가 같다는 사실이다. 따라서 집합론적인 관점에서는 $\R$과 $\C$를 같은 집합, 즉 동형(isomorphic)이라고 보아도 크게... Read more »

군론(group theory)를 이용한 정수론의 정리 증명

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정수론에서 합동(modular)의 개념을 정의하고 나서 바로 배우는 세 가지의 정리가 있다. 이들은 각각 페르마의 소정리(Fermat's little theorem), 오일러의 정리(Euler's theorem), 그리고 윌슨의 정리(Wilson's theorem)를 말하는데, 이 정리를 기반으로 합동식에 대한... Read more »

일반화된 다항식의 나머지 정리(generalized polynomial remainder theorem)

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다항식의 나눗셈 정리(polynomial division theorem)에 의하면 다음 사실이 성립한다: 서로 다른 두 다항식 $f$, $g$에 대하여 아래 다항식을 만족하는 두 다항식 $q$와 $r$이 유일하게 존재한다. \[ f(x) = g(x)q(x) +... Read more »

순서체(ordered field)에 대하여

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순서체(ordered field)란 체(field) $F$에 순서 구조가 주어진 공간을 말한다. 순서체의 수학적 정의는 다음과 같다.   정의. 순서체(ordered field) $F$가 임의의 체(field)하 하자. 그러면 다음 두 주건을 만족하는 집합 $P \subseteq... Read more »

사원수(Quaternion)에 대하여 - 5. 사원수의 곱셈

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사원수(Quaternion)의 곱셈 이제까지 사원수의(quaternion)의 곱셈이 아래의 식 \[ \begin{aligned} (a_1,\,b_1,\,c_1,\,d_1) &\times (a_2,\,b_2,\,c_2,\,d_2) \\[5pt] &= (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2,\, a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2, \\[5pt] & \qquad... Read more »

사원수(Quaternion)에 대하여 - 4. 사중쌍(quadruple)과 사원수(Quaternion)

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사중쌍(quadruple)과 사원수(Quaternion) 삼중쌍(triple)에 대한 실패를 바탕으로 해밀턴은 사중쌍(quadruple)과 사중쌍의 사칙연산에 대한 연구를 시작하였다. 우선 해밀턴은 사중쌍 $(a,\,b,\,c,\,d) = a + bi + cj + dk$에 사칙연산에 대한 법칙 $i^2 =... Read more »

사원수(Quaternion)에 대하여 - 3. 삼중쌍(triple)의 실패

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3. 삼중쌍(triple)의 실패 해밀턴은 우선 삼중쌍(triple)을 아래와 같이 이중쌍(couple)으로써 자연스럽게 정의하였다. \[ (a,\,b,\,c), \quad a,\,b,\,c \in \R. \] 그 다음 삼중쌍들 사이의 사칙연산을 잘 정의하여, 실수의 사칙연산과 이중쌍의 사칙연산이 삼중쌍의... Read more »

사원수(Quaternion)에 대하여 - 1. 소개 2. 복소수와 복소수의 성질

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1. 소개 수학의 모든 위대한 발견들은 당대의 천재들의 번뜩이는 영감에 의해서 어느날 갑자기 이루어지는 것이 아니다. 선대의 수많은 수학자들이 앞서 발견하고 정리해 온 수학적 토대 위에 적게는 수개월에서 많게는 수십년에... Read more »