Category: Real Analysis

주어진 함수가 도함수(derivative)가 될 필요/충분 조건

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실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 실함수 $F : I \to \R$가 존재하여, 모든 $x \in I$에 대하여 $f(x) = F'(x)$를 만족할 때, $f$를 ... Read More

모든 유리수점에서 연속이고 모든 무리수점에서 불연속인 함수

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지난 글에서 토매 함수(Thomae function)이라 불리는 함수를 정의하고, 이 함수가 모든 유리수점에서 불연속이고 모든 무리수점에서 연속인 함수임을 보였다. 이 관찰을 바탕으로 다음과 같은 자연스러운 질문을 던질 수 있다. 모든 유리수점에서 ... Read More

슈톨츠-체사로 정리(Stolz–Cesaro theorem)

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해석학에서, 슈톨츠-체사로 정리(Stolz–Cesaro theorem)는 두 수열 $a_n$과 $b_n$의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 이는 체사로 평균(Cesaro mean)의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈 정리(L'hospital theorem)의 이산적인 형태로 볼 수 ... Read More

'소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 또 다른 증명

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예전에 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명을 올린 적이 있다. $ $ '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'의 증명 $ $ 위 글의 증명은 소인수분해의 유일성을 이용한 증명이었는데, 이번 글에서는 또 다른 ... Read More

극값 정리(Extreme Value Theorem)의 한 응용

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실해석학에서 옹골집합(compact set)에 대한 개념을 배우고 난 후 배우는 수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 정리가 하나 있다. 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 이 정리는 아래와 같다.   ... Read More

매끄럽지만 해석적이지 않은 함수

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주어진 실함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대하여, $f$가 $k$번 미분 가능하고 $k$계 도함수(derivative)가 연속(continuous)이면, $f$를 $C^k$ 함수라고 한다. (이때, $C^k$는 앞선 조건을 만족하는 모든 함수들의 집합을 뜻한다.) 예를 들어 ... Read More