스털링 근사식(Stirling’s approximation)이란 충분히 큰 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 계승(factorial) $n!$를 근사적으로 구하는 방법이다. 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 함수 $s(n) = \sqrt{2 \pi n} \Big( \dfrac{n}{e}... Read more »
이번 포스트에서는 주어진 $B : V \times V \to \R$가 대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form)일 때 성립하는 동치 관계들에 대하여 알아보고자 한다. 먼저 다음 정의를 살펴보자. $ $ 정의 1. 이중선형형식... Read more »
두 함수 $\sin(x)$와 $\sin(2x)$를 생각해 보자. 이 두 함수는 각각 주기가 $2\pi$와 $\pi$인 주기함수이고, 두 함수의 합인 $\sin(x) + \sin(2x)$ 또한 (주기가 $2\pi$인) 주기함수이다. 아래 그래프를 참고 하도록 하자. $... Read more »
주어진 실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$가 임의의 $x,\, y \in I$와 $\lambda \in [0,\, 1]$에 대하여 다음 부등식 \[ f((1-\lambda)x + \lambda y) \leq (1-\lambda)f(x) + \lambda... Read more »
실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 실함수 $F : I \to \R$가 존재하여, 모든 $x \in I$에 대하여 $f(x) = F'(x)$를 만족할 때, $f$를... Read more »
실함수 $f : I \subset \R \to I$가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 $x \in I$에 대하여 \[ f(f(x)) = x \quad \text{or} \quad f(x) = f^{-1}(x) \] 가 성립하면, 함수... Read more »
닫힌 구간 $I$ 위에서 연속인 함수 $f: I \to I$에 대하여 다음을 정의하자. 정의 1. 정수 $m \geq 1$에 대하여, $f^m(a) = a$이지만 모든 $1 \leq i < m$에... Read more »
지난 글에서 토매 함수(Thomae function)이라 불리는 함수를 정의하고, 이 함수가 모든 유리수점에서 불연속이고 모든 무리수점에서 연속인 함수임을 보였다. 이 관찰을 바탕으로 다음과 같은 자연스러운 질문을 던질 수 있다. 모든 유리수점에서... Read more »
디리클레 함수(Dirichelet function)란 모든 점에서 불연속인 함수의 한 예로써, 다음과 같이 정의되는 함수이다. \[ f(x) = \begin{cases} 0, \quad & \text{if $x \notin \Q$} \\ 1, \quad & \text{if $x... Read more »
해석학에서, 슈톨츠-체사로 정리(Stolz–Cesaro theorem)는 두 수열 $a_n$과 $b_n$의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 이는 체사로 평균(Cesaro mean)의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈 정리(L'hospital theorem)의 이산적인 형태로 볼 수... Read more »