다음 부정적분을 계산하여라. \[ \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} dx \] $ $
다음 극한을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \] $ $
$3$차 정사각행렬 $A$, $B$가 $A^2 = AB + BA$를 만족할 때, $\det(AB - BA) = 0$임을 보여라. $ $
사차방정식 $x^4 - 3x + 2 = 0$의 네 근을 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 하자. 이 때, $a^3 + b^3 + c^3 + d^3$의 값을 구하여라. $ $
임의의 실수 $\theta_k \in \R$와 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 다음을 증명하여라. \[ \prod_{k=1}^{n} \cos^2 \theta_k - \sum_{k=1}^{n} \cos^2 \theta_k \geq 1 - n \] $ $
$1$부터 $6$까지의 숫자를 한번씩 사용하여 만든 여섯자리 수는 $11$의 배수가 될 수 없음을 보여라. $ $
$n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$이 완전제곱수가 되게 하는 모든 정수 $n$을 구하여라. $ $
적당한 각 $\theta$에 대하여, 다음의 식이 성립한다고 가정하자. \[ \tan \theta + \sec \theta = 2017. \tag*{$(\ast)$} \] 이 때, $\cot \theta + \csc \theta$의 값을 구하여라. $ $
임의의 정수 $m \in \mathbb{Z}$에 대하여, \[ \prod_{k=1}^{\infty} \cos ( m 2^{-k} ) \] 의 값을 구하여라. $ $
임의의 실수 $a$에 대하여 $\lfloor a \rfloor$를 $a$보다 작거나 같은 가장 큰 정수, $\{a\}$를 $a$의 소수부분, 즉, $\{a\} = a - \lfloor a \rfloor$와 같이 정의하자. 예를 들어 $a =... Read more »