$a + b + c = 0$을 만족하는 정수 $a,\, b,\, c$에 대하여, 다음 표현 \[ \frac{a^4 + b^4 + c^4}{2} \] 는 언제나 완전제곱수(perfect number)임을 증명하여라. $ $
방정식 $x^3 = 1$의 세 근을 각각 $1,\, w,\, \bar{w}$라 하자. 이 때, 임의의 음이 아닌 정수 $n \geq 0$에 대하여 \[ 2^n + (-w)^n + (-\bar{w})^n \] 은 모두... Read more »
실수 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1000}$의 소수점 아래 $100$번째 자릿수를 구하여라. $ $
$n \times n$ 가역행렬(invertible matrix) $A$가 실수인 고유값만을 갖고, 다음 조건 \[ \tr(A^2) = \tr(A^3) = \tr(A^4) \] 을 만족한다고 한다. 이때 $\tr(A)$의 값을 구하여라. $ $
중심이 $(\sqrt{20},\, \sqrt{19})$인 원 위에 존재하는 유리수점의 개수는 많아야 하나임을 증명하여라. (여기서 유리수점이란 그 점의 $x$, $y$ 성분이 모두 유리수인 점을 뜻한다.) $ $
다음 정적분을 계산하여라. \[ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1 + x^{\phi})^{\phi}} \,dx \] 여기서 $\phi$는 황금비(golden ratio), 즉, 방정식 $x^2 - x - 1 = 0$의 양수인 해이다. $ $
임의의 실수 $x$에 대하여, 다음 부등식을 증명하여라. $\cos(\cos(x)) > \sin(\sin(x))$ $\cos(\sin(x)) > \sin(\cos(x))$ $ $
양의 실수 $x > 0$에 대하여 함수 $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$를 정의하자. 이 때, 다음 극한을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} \left[ f \left( \tfrac{1}{n} \right) f \left( \tfrac{2}{n}... Read more »
$n$명의 학생이 있는 학교가 있다. 그 학교에는 $m$개의 동아리가 있는데, 모든 동아리는 각각 홀수명의 학생이 가입해 있고, 어떤 두 동아리를 택하더라도 그 두 동아리에 모두 가입한 학생수는 언제나 짝수 라... Read more »
집합 $A$의 모든 원소들의 곱을 $P(A)$로 정의하자. 이제 집합 $S = \{1,\,2,\, \ldots,\, 2018\}$의 공집합이 아닌 모든 부분집합을 각각 $S_1,\, \ldots,\, S_{2^{2018}-1}$이라 할 때, \[ \sum_{k=1}^{2^{2018}-1} \frac{1}{P(S_k)} \] 의 값을... Read more »