소수 가 주어졌다고 하자. 이 아닌 임의의 정수 에 대하여, 의 진 값매김(-adic valuation)은 을 가 를 나누게 하는 양의 정수 중 가장 큰 수로 정의한다. 또한 로 정의한다. 즉,
으로 정의된다. 따라서 정의에 의해서 은 을 소인수분해 했을 때 의 지수와 같음을 알 수 있다.
르장드르의 정리(Legendre's theorem)
증명. 생략..
한 편, 주어진 양의 정수 에 대한 진 전개(-adic expansion)를 생각해 보자. 다시 말해 적당한 가 유일하게 존재하여
와 같이 나타낼 수 있다. 이 때, 로 정의하자. 즉, 은 을 진전개 했을 때, 각 자릿수의 합과 같음을 알 수 있다. 일반적으로 과 사이에는 큰 관련이 없지만, 과 사이에는 다음과 같이 밀접한 관련이 있음을 보일 수 있다.
증명. 먼저 의 진 전개가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
그러면 각각의 에 대하여
가 성립한다. 따라서 르장드르의 공식에 의해 다음을 얻는다.
위 르장드르의 정리에서 인 경우, 특별히 아래와 같이 재미있는 결론을 얻는다. 예를 들어 이라 하면, 이므로 임을 알 수 있다. 따라서 의 소인수분해에서의 의 지수는 임을 알 수 있다.
쿠머의 정리(Kummer's theorem)
소수 와 두 양의 정수 이 주어졌다고 하자. 이제 의 소인수분해에서의 의 지수는 의 소인수분해에서의 의 지수와 의 소인수분해에서의 의 지수의 합과 같다. 또한 의 소인수분해에서의 의 지수는 의 소인수분해에서의 의 지수에 을 곱한 값과 같다. 즉,
이 성립한다.
이제 이 사실들을 바탕으로 진 값매김을 정수에서 유리수로 확장해 보자. 우선 (b)에서 를 대입하면, 를 얻는다. 따라서 임의의 두 정수 에 대하여 (단, )
으로 정의하는 것이 자연스럽다. 실제로 유리수에 대한 진 값매김을 위와 같이 정의하면 정수에 대한 진 값매김의 자연스러운 확장이 된다.
위와 같이 유리수로 확장한 진 값매김과 르장드르의 정리를 이용하면 다음 쿠머의 정리(Kummer's theorem)를 간단히 보일 수 있다.
증명. 르장드르의 정리에 의해,
이 성립한다..
위 정리를 적용하기 위하여 이고 인 경우를 생각해 보자. 이고
의 계산 과정에서 번의 '자리 올림'이 발생하므로 은 임을 알 수 있다.
증명. 소수 가 의 소인수 중 하나라 하자. 또한 적당한 양의 정수 에 대하여 라 하자. 그러면 의 진전개를
와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 이다. 그러므로 의 진전개는
와 같다. 따라서 진법에서 을 계산할 때, 적어도 번의 '자리 올림'이 발생한다. 즉,
이 성립한다. 이는 의 모든 소인수가 의 소인수임을 뜻하므로 은 을 나눈다..