적분(Integration)은 미분(Differentiation)과 함께 미적분학(Calculus)에서 가장 중요한 두가지 연산 중 하나이다. 하지만, 적분의 경우 미분해 비해 상대적으로 계산이 까다롭고, 심지어는 어떤 함수의 부정적분(Indefinite Integral)은 초등적인 함수로 표현이 불가능한 경우가 많다. 그래서 보통 함수의 부정적분을 구할 때, 치환적분(Substitution) 또는 부분적분(Integration by parts)등을 사용하여 주어진 함수를 부정적분을 구하기 쉬운 함수로 변형한 뒤에 아래의 적분공식을 사용하여 최종적인 값을 구하곤 한다. 따라서 이번 포스트에서는 기본적인 적분(Integral) 공식을 정리해 보았다.

• $ \displaystyle \int k\,dx = kx + C $
• $ \displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)} $
• $ \displaystyle \int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)} $
• $ \displaystyle \int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C $
• $ \displaystyle \int\frac{c}{ax + b} \, dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| + C $
• $ \displaystyle \int\frac{1}{1 + x^{2}} \, dx= \arctan x + C $

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• $ \displaystyle \int e^x\,dx = e^x + C $
• $ \displaystyle \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $

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• $ \displaystyle \int \ln x\,dx = x \ln x - x + C $
• $ \displaystyle \int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C $

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• $ \displaystyle \int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C $
• $ \displaystyle \int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C $
• $ \displaystyle \int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C = \ln{\left| \sec{x} \right|} + C $
• $ \displaystyle \int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C $
• $ \displaystyle \int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C $
• $ \displaystyle \int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C $
• $ \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C $
• $ \displaystyle \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C $
• $ \displaystyle \int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C $
• $ \displaystyle \int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = -\csc{x} + C $
• $ \displaystyle \int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x ) + C $
• $ \displaystyle \int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x ) + C $
• $ \displaystyle \int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C $

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• $ \displaystyle \int {\sin}^{-1}x \, dx = x {\sin}^{-1}x + \sqrt{1 - x^2} + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert \le 1 $
• $ \displaystyle \int {\cos}^{-1}x \, dx = x {\cos}^{-1}x - \sqrt{1 - x^2} + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert \le 1 $
• $ \displaystyle \int {\tan}^{-1}x \, dx = x {\tan}^{-1}x - \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \qquad \text{ for all real } x $
• $ \displaystyle \int {\sec}^{-1}x \, dx = x {\sec}^{-1}x - \ln \vert x \, ( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, ) \vert + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert \ge 1 $
• $ \displaystyle \int {\csc}^{-1}x \, dx = x {\csc}^{-1}x + \ln \vert x \, ( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, ) \vert + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert \ge 1 $
• $ \displaystyle \int {\cot}^{-1}x \, dx = x {\cot}^{-1}x + \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \qquad \text{ for all real } x $

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• $ \displaystyle \int \sinh x \, dx = \cosh x + C $
• $ \displaystyle \int \cosh x \, dx = \sinh x + C $
• $ \displaystyle \int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C $
• $ \displaystyle \int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan\,(\sinh x) + C $
• $ \displaystyle \int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C , \qquad \text{ for } x \neq 0 $
• $ \displaystyle \int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C , \qquad \text{ for } x \neq 0 $

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• $ \displaystyle \int {\sinh}^{-1} \, x \, dx = x \, {\sinh}^{-1} \, x - \sqrt{ x^2 + 1 } + C , \qquad \text{ for all real } x $
• $ \displaystyle \int {\cosh}^{-1} \, x \, dx = x \, {\cosh}^{-1} \, x - \sqrt{ x^2 - 1 } + C , \qquad \text{ for } x \ge 1 $
• $ \displaystyle \int {\tanh}^{-1} \, x \, dx = x \, {\tanh}^{-1} \, x + \frac{\ln\left(\,1-x^2\right)}{2} + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert < 1 $
• $ \displaystyle \int {\operatorname{sech}}^{-1} \, x \, dx = x \, {\operatorname{sech}}^{-1} \, x + {\sin}^{-1} x + C , \qquad \text{ for } 0 < x \le 1 $
• $ \displaystyle \int {\operatorname{csch}}^{-1} \, x \, dx = x \, {\operatorname{csch}}^{-1} \, x + \vert {\sinh}^{-1} \, x \vert + C , \qquad \text{ for } x \neq 0 $
• $ \displaystyle \int {\coth}^{-1} \, x \, dx = x \, {\coth}^{-1} \, x + \frac{\ln\left(x^2-1\right)}{2} + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert > 1 $