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풀이 1. 만약 $x \geq 1$ 또는 $y \geq 1$이면 부등식이 성립하므로, $0 < x,\, y < 1$인 경우만 고려해 주면 충분하다. 일반성을 잃지 않고 $y^{1/(1-y)} \geq x^{1/(1-x)}$라 가정하자. 그러면
\[ y^{\frac{1}{1-y}} \geq x^{\frac{1}{1-x}} \implies y^{1-x} \geq x^{1-y} \implies \frac{y^{1-x}}{x^{1-y}} \geq 1 \implies \frac{x^{y-1}}{y^{x-1}} \geq 1 \tag*{$(\ast)$} \]
이 성립한다. 이제 다음과 같이 $S$를 정의하자.
\[ S = \left( x^y + y^x \right)^{\frac{1}{x}} = \left( y^x \left( 1 + \frac{x^y}{y^x} \right) \right)^{\!\frac{1}{x}} = y \left( 1 + \frac{x^y}{y^x} \right)^{\!\frac{1}{x}} \]
여기서 $\tfrac{1}{x} > 1$이므로 베르누이의 부등식(Bernoulli's inequality)과 $(\ast)$에 의해
\[ S \geq y \left( 1 + \frac{x^y}{y^x} \cdot \frac{1}{x} \right) = y + \frac{x^{y-1}}{y^{x-1}} \geq y + 1 > 1 \]
즉, $S > 1$이므로 $x^y + y^x = S^x > 1$을 얻는다..
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풀이 2. 만약 $x \geq 1$ 또는 $y \geq 1$이면 부등식이 성립하므로, $0 < x,\, y < 1$인 경우만 고려해 주면 충분하다. 이제 $x-1 > -1$이고 $0 < 1-y < 1$이므로 베르누이의 부등식(Bernoulli's inequality)에 의해
\[ x^{1-y} = (1 + (x-1))^{1-y} \leq 1 + (x-1)(1-y) = x + y - xy \]
가 성립한다. 마찬가지 방법으로 $y^{1-x} \leq x + y - xy$가 성립함을 알 수 있다. 이 두 부등식을 각각 정리하면
\[ x^y \geq \frac{x}{x + y - xy}, \quad y^x \geq \frac{y}{x + y - xy} \]
이므로 두 부등식을 더해주면 원하는 부등식
\[ x^y + y^x \geq \frac{x}{x + y - xy} + \frac{y}{x + y - xy} = \frac{x + y}{x + x - xy} > 1 \]
을 얻는다..