풀이. $\phi^2 = \phi + 1$이라는 사실을 이용하여, 피적분함수(integrand)를 정리하면 다음을 얻는다. \[ \frac{1}{(1 + x^{\phi})^{\phi}} = \frac{1}{(x^{\phi}(x^{-\phi} + 1))^{\phi}} = \frac{1}{x^{\phi^2}(x^{-\phi} + 1)^{\phi}} = \frac{x^{-\phi^2}}{(x^{-\phi} + 1)^{\phi}} = \frac{x^{- \phi - 1}}{(x^{-\phi} + 1)^{\phi}} \] 따라서 $u = x^{-\phi} + 1$, $du = -\phi x^{- \phi - 1} dx$로 치환적분을 하면, \[ \begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1 + x^{\phi})^{\phi}} \,dx &= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{- \phi - 1}}{(x^{-\phi} + 1)^{\phi}} \,dx \\[5px] &= -\frac{1}{\phi} \int_{\infty}^{1} \frac{1}{u^{\phi}} \,du \\[5px] &= \frac{1}{\phi} \int_{1}^{\infty} u^{-\phi} \,du \\[5px] &= \frac{1}{\phi} \frac{1}{1 - \phi} u^{1 - \phi} \, \bigg|_{1}^{\infty} \\[5px] &= - u^{1 - \phi} \, \bigg|_{1}^{\infty} \\[5px] &= 1 \end{align*} \] 임을 알 수 있다..