풀이. 양의 정수 $n$에 대하여, $n$의 모든 (양의) 약수의 합을 나타내는 함수를 $\sigma(n)$으로 정의하자. 그러면 주어진 문제는 $\sigma(n) = 3n$ 또는 $\frac{\sigma(n)}{n} = 3$을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $n$을 찾는 문제와 같다. 한 편, 이 함수 $\sigma$에 대해서 다음의 사실이 잘 알려져 있다.

• 임의의 양의 정수 $m,\, n$에 대하여, $\sigma(mn) = \sigma(m) \sigma(n)$.
• 임의의 소수 $p$와 양의 정수 $k$에 대하여, $\sigma(p^k) = \frac{p^{k+1} - 1}{p-1}$.

위의 두 번째 성질에 의하면, 임의의 소수 $p$와 양의 정수 $k$에 대하여 \[ \frac{\sigma(p^k)}{p^k} = \frac{p^{k+1} - 1}{(p-1)p^k} < \frac{p^{k+1}}{(p-1)p^k} = \frac{p}{p-1} \] 가 성립함을 알 수 있다. 따라서 \[ \frac{\sigma(2^k)}{2^k} < 2, \quad \frac{\sigma(3^k)}{3^k} < \frac{3}{2}, \quad \frac{\sigma(5^k)}{5^k} < \frac{5}{4}, \quad \frac{\sigma(7^k)}{7^k} < \frac{7}{6},\ldots \] 를 얻는다. 이제 만약 $n$이 두개의 소인수(prime factor)만을 갖는 삼중완전수라 가정하자. 적당한 두 소수 $p,\, q$에 대하여 $n = p^a q^b$라 하면, \[ 3 = \frac{\sigma(n)}{n} = \frac{\sigma(p^a) \sigma(q^b)}{p^a q^b} < \frac{p}{p-1} \cdot \frac{q}{q-1} < 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \] 이 되어 모순이 발생한다. 따라서 $n$이 삼중완전수가 되기 위해서는 적어도 세개의 서로 다른 소인수를 가져야 함을 알 수 있다.

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이제 가능한 작은 삼중완전수 $n$을 찾기 위하여 $n = 2^a 3^b 5^c$라 가정해 보자. 이 경우 $\sigma(5^c)$는 $5$를 소인수로 가지지 않는다는 사실로부터, $\sigma(2^a)$와 $\sigma(3^b)$ 중 적어도 하나는 $5$의 배수여야 함을 알 수 있다. 이 때, $\sigma(2^a)$가 $5$의 배수가 되게 하는 가장 작은 $a$는 $a=3$이다. 이 경우 $b = c = 1$일 때 \[ \frac{\sigma(2^3 \cdot 3 \cdot 5)}{2^3 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{\sigma(2^3) \sigma(3) \sigma(5)}{2^3 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{15 \cdot 4 \cdot 6}{2^3 \cdot 3 \cdot 5} = 3 \] 이 되어 $n = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$은 삼중완전수이다. 다음으로 $\sigma(3^a)$가 $5$의 배수가 되게 하는 가장 작은 $b$는 $b=3$인데, 이 경우 $n \geq 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270$이므로 고려해 주지 않아도 된다. 한 편, $n$이 네 개 이상의 서로 다른 소인수를 가진다고 가정하면 $n \geq 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$이므로 역시 고려해줄 필요가 없고, 마지막으로 $120$보다 작으면서 서로 다른 세 개의 소인수를 가지는 수는 모두 삼중완전수가 아니므로 $n = 120$이 가장 작은 삼중완전수임을 알 수 있다.$ $

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참고. 삼중완전수는 차례대로 \[ 120,\, 672,\, 523776,\, 459818240,\, 1476304896,\, 51001180160\, \ldots \] 가 있으며 OEIS A005820에서 확인해 볼 수 있다.$ $