Category: Geometry

사각형의 넓이와 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)

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브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)은 임의의 사각형의 네 변의 길이와 마주보는 두 각의 크기를 이용하여 사각형의 넓이를 계산하는 공식을 뜻한다. 이 공식은 원에 내접한 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식(Brahmagupta's formula)과 삼각형의 넓이를... Read more »

외접 다각형 상수(polygon circumscribing constant)와 내접 다각형 상수(polygon inscribing constant)

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원이 하나 주어졌다고 하자. 이 원에 외접하는 정삼각형을 하나 그리고 다시 정삼각형에 외접하는 원을 그린다. 이제 이 원에 외접하는 정사각형을 그리고 다시 정사각형에 외접하는 원을 그린다. 다음으로 이 원에 외접하는... Read more »

파도아의 부등식(Padoa's Inequality)과 오일러의 부등식(Euler's inequality)

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파도아의 부등식(Padoa's Inequality)은 임의의 삼각형 $ABC$의 세 변 $a,\,b,\,c$ 사이에 성립하는 다음의 부등식을 말한다. \[ abc \geq (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a)... Read more »

피자 정리(pizza theorem)

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미적분학에서 흔히 샌드위치 정리(sandwich theorem)로 잘 알려진 정리는 다음을 말한다. $ $ 정리. 샌드위치 정리(sandwich theorem) 점 $a$를 포함하는 구간 $I$에서 정의된 세 함수 $f$, $g$, $h$가 다음 조건을 만족한다고... Read more »

월리스-보여이-게르빈 정리(Wallace-Bolyai-Gerwien theorem)

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분할 퍼즐(dissection puzzle)이란 평면 위에 주어진 다각형을 적당히 유한개의 다각형 조각들로 잘라낸 후에 다시 재결합하여 새로운 다각형을 만들어 내는 퍼즐의 한 분야를 말한다. 분할 퍼즐을 보면 매우 다양한 과제를 볼... Read more »

등주부등식(isoperimetric inequality)과 비르팅거 부등식(Wirtinger's inequality)

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등주부등식(isoperimetric inequality)이란 주어진 폐곡선의 둘레와 그 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 사이의 관계에 대한 답을 제공한다. 즉, 등주부등식을 이용하여 "둘레의 길이가 일정한 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 최대넓이는 무엇인가?"와 "넓이가 일정한 영역을 둘러싸는... Read more »

구면삼각형(spherical triangle)의 넓이, Girard의 정리

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평면상의 직선이란 직관적으로 무한이 길고 곧은 선을 의미한다. 이 평면상의 직선 등을 다루는 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학 등으로 불린다. 그렇다면 구면상에서의 직선은 어떻게 정의할 수 있을까? 구면상에서의 직선은 바로... Read more »

닫힌 유계 집합이지만 옹골집합이 아닌 집합

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$(X,\, \norm{\cdot})$가 노름공간(finite dimensional normed vector space)이라 하자. 그러면 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)에 의해 다음 사실이 성립한다.   정리. 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem) $X$가 유한차원이면, 임의의 부분집합 $S$에 대하여 다음이 동치이다. $S$는 닫힌 집합(closed set)이면서... Read more »

수학적 귀납법 (Mathematical Induction) - 3. 위상적 귀납법과 조밀성

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조밀성(Compactness)은 위상수학 분야에서 가장 중요한 개념중의 하나이다. 하지만 처음 조밀성에 대한 정의를 처음 접할땐, 그 중요성이 한 눈에 와 닿지는 않는게 사실이다. 그것은 아마 다른 개념들과는 (예를 들어, 연속성(Continuity)이나 연결성(Connectedness)... Read more »

위상공간을 정의하는 동치 공리들

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이전 글에서 우리가 흔히 위상수학이라고 부르는 일반위상수학(general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)은 최소한의 공리로부터 시작하여 집합 위에서의 극한 및 연속성을 잘 정의하기 위해서 시작한 수학의 한 분야임을 살펴 보았다. 이를 다시... Read more »