Category: Geometry

사각형의 넓이와 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)

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브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)은 임의의 사각형의 네 변의 길이와 마주보는 두 각의 크기를 이용하여 사각형의 넓이를 계산하는 공식을 뜻한다. 이 공식은 원에 내접한 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식(Brahmagupta's formula)과 삼각형의 넓이를 ... Read More

외접 다각형 상수(polygon circumscribing constant)와 내접 다각형 상수(polygon inscribing constant)

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원이 하나 주어졌다고 하자. 이 원에 외접하는 정삼각형을 하나 그리고 다시 정삼각형에 외접하는 원을 그린다. 이제 이 원에 외접하는 정사각형을 그리고 다시 정사각형에 외접하는 원을 그린다. 다음으로 이 원에 외접하는 ... Read More

파도아의 부등식(Padoa's Inequality)과 오일러의 부등식(Euler's inequality)

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파도아의 부등식(Padoa's Inequality)은 임의의 삼각형 $ABC$의 세 변 $a,\,b,\,c$ 사이에 성립하는 다음의 부등식을 말한다. \[ abc \geq (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) ... Read More

월리스-보여이-게르빈 정리(Wallace-Bolyai-Gerwien theorem)

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분할 퍼즐(dissection puzzle)이란 평면 위에 주어진 다각형을 적당히 유한개의 다각형 조각들로 잘라낸 후에 다시 재결합하여 새로운 다각형을 만들어 내는 퍼즐의 한 분야를 말한다. 분할 퍼즐을 보면 매우 다양한 과제를 볼 ... Read More

등주부등식(isoperimetric inequality)과 비르팅거 부등식(Wirtinger's inequality)

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등주부등식(isoperimetric inequality)이란 주어진 폐곡선의 둘레와 그 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 사이의 관계에 대한 답을 제공한다. 즉, 등주부등식을 이용하여 "둘레의 길이가 일정한 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 최대넓이는 무엇인가?"와 "넓이가 일정한 영역을 둘러싸는 ... Read More

구면삼각형(spherical triangle)의 넓이, Girard의 정리

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평면상의 직선이란 직관적으로 무한이 길고 곧은 선을 의미한다. 이 평면상의 직선 등을 다루는 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학 등으로 불린다. 그렇다면 구면상에서의 직선은 어떻게 정의할 수 있을까? 구면상에서의 직선은 바로 ... Read More

닫힌 유계 집합이지만 옹골집합이 아닌 집합

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$(X,\, \norm{\cdot})$가 노름공간(finite dimensional normed vector space)이라 하자. 그러면 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)에 의해 다음 사실이 성립한다.   정리. 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem) $X$가 유한차원이면, 임의의 부분집합 $S$에 대하여 다음이 동치이다. $S$는 닫힌 집합(closed set)이면서 ... Read More

수학적 귀납법 (Mathematical Induction) - 3. 위상적 귀납법과 조밀성

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조밀성(Compactness)은 위상수학 분야에서 가장 중요한 개념중의 하나이다. 하지만 처음 조밀성에 대한 정의를 처음 접할땐, 그 중요성이 한 눈에 와 닿지는 않는게 사실이다. 그것은 아마 다른 개념들과는 (예를 들어, 연속성(Continuity)이나 연결성(Connectedness) ... Read More

위상공간을 정의하는 동치 공리들

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이전 글에서 우리가 흔히 위상수학이라고 부르는 일반위상수학(general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)은 최소한의 공리로부터 시작하여 집합 위에서의 극한 및 연속성을 잘 정의하기 위해서 시작한 수학의 한 분야임을 살펴 보았다. 이를 다시 ... Read More