1. $f$는 다항함수(polynomial)이므로 연속함수이다.
2. $f$의 차수가 $3$이므로 모든 실수를 함숫값으로 갖는다. 하지만 $f(0) = f(\sqrt{2}) = f(-\sqrt{2}) = 0$이므로 $f$는 전사함수이지만 단사함수는 아니다.
3. 임의의 유리수 $r \in \Q$에 대하여, $f(r) = r^3 - 2r \in \Q$이므로 주어진 조건을 만족한다.
4. 먼저 $g = f|_{\Q}$가 전사함수가 아님을 보이기 위하여, 방정식 $g(x) = 2$는 유리수해를 가지지 못함을 증명할 것이다. 만약 유리수 $\tfrac{p}{q} \in \Q$ (단, $p$와 $q$는 서로소인 정수)가 존재하여 $g(\tfrac{p}{q}) = 2$를 만족한다고 가정해 보자. 즉, \[ \left( \frac{p}{q} \right)^2 + 2\frac{p}{q} = \frac{p^3 + 2pq^2}{q^3} = 2 \] 가 성립한다고 가정하면, $p^3 = 2q^2(q - p)$를 얻는다. 이 식의 우변은 짝수이므로 좌변 또한 짝수여야 하고, 따라서 $p$ 또한 짝수임을 알 수 있다. 하지만 이 경우 좌변이 $8$의 배수가 되므로, $q^2(q - p)$가 짝수 ($4$의 배수) 여야만 하고, 결과적으로 $q$ 또한 짝수여야만 함을 알 수 있다. 이는 $p$와 $q$가 서로소라는 가정에 모순이고, 따라서 $g(x) = 2$를 만족하는 유리수해는 존재하지 않는다.
   이제 $g$가 단사함수임을 보이기 위해서 $g(x) = g(y)$를 만족하는 서로 다른 두 유리수 $x, y \in \Q$가 존재한다고 가정해 보자. 그러면 $x$와 $y$를 통분하여 $x = \tfrac{p_1}{q}$, $y = \tfrac{p_2}{q}$와 같이 나타낼 수 있다. (단, $p_1$, $p_2$, $q$는 공통인수를 가지지 않는다.) 여기서 $x$와 $y$는 공통분모 $q$를 가지고 있음에 주의하자. 그러면 \[ \begin{align*} x^3 - 2x = y^3 - 2y \quad &\implies \quad x^3 - y^3 = 2(x - y) \\[5px] &\implies \quad (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 2(x - y) \\[5px] &\implies \quad x^2 + xy + y^2 = 2 \end{align*} \] 를 얻는다. 위 식의 양변에 $q^2$을 곱해 주면 $p_1^2 + p_1q_1 + p_2^2 = 2q^2$를 얻는다. 따라서 이 식의 좌변 $p_1^2 + p_1q_1 + p_2^2$은 짝수가 되어야 하는데, 그렇게 되기 위해서는 $p_1$과 $p_2$ 모두 짝수일 수 밖에는 없다. 이 경우 좌변 $p_1^2 + p_1q_1 + p_2^2$ 전체는 $4$의 배수이다. 그러므로 $q^2$ 또한 짝수이고, $q$ 또한 짝수가 되어야만 한다는 결론을 얻는다. 따라서 $p_1$, $p_2$, $q$는 공통인수 $2$를 갖고, 이는 가정에 모순이므로 $g(x) = g(y)$를 만족하는 유리수 $x,\, y \in \Q$는 존재하지 않는다.

따라서 $f(x) = x^3 - 2x$는 네 조건을 모두 만족하는 실함수이다.$ $