1. 다음과 같이 집합 $A \subseteq [0,\, 1]$를 정의하자. \[ A = \set{x \in [0,\, 1]}{f(x) \geq x}. \] 그러면 $f(0) \geq 0$이라는 사실로부터 $0 \in A$가 되어 $A$는 공집합이 아니고, $A$는 (위로) 유계이므로 $A$의 상한_(supremum) $s$가 존재한다. 이제 $f(s) = s$를 보일 것이다. 우선 $s$가 $A$의 상한이라는 사실로부터 모든 $x \in A$에 대하여 $x \leq s$가 성립하므로, $f$의 단조증가성에 의해 $x < f(x) \leq f(s)$를 얻는다. 즉, $f(s)$는 $A$의 상계_{(upper bound)}이므로 $s \leq f(s)$가 성립함을 알 수 있다. 이제 $f$의 단조증가성을 다시 한 번 이용하면 $f(s) \leq f(f(s))$를 얻고, 이로부터 $f(s) \in A$임을 알 수 있다. 그러면 $s$가 $A$의 상한이라는 사실로부터 $f(s) \leq s$ 또한 성립해야한다. 따라서 $f(s) = s$를 얻는다.
2. 다음과 같이 함수 $f : [0,\, 1] \to [0,\, 1]$를 정의하자. \[ f(x) = \begin{cases} 1 - \frac{x}{2} & \text{if} \;\; 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \\ \frac{1}{2} - \frac{x}{2} & \text{if} \;\; \frac{1}{2} < x \leq 1. \end{cases} \] 그러면 $f$는 단조감소이면서 모든 $x \in [0,\, 1]$에 대하여 $f(x) \neq x$가 성립함을 쉽게 확인할 수 있다.

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