Problems and Solutions #081
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실수 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1000}$의 소수점 아래 $100$번째 자릿수를 구하여라. $ $
Problems and Solutions
Problems and Solutions #080
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다음 네 조건을 모두 만족하는 실함수 $f: \R \to \R$을 구성하여라. $f$는 연속(continuous)이다. $f$는 전사함수(surjection)이지만 단사함수(injection)는 아니다. 임의의 유리수 $r \in \Q$에 대하여, $f(r) \in \Q$이다. 함수 $g : \Q... Read more »
Problems and Solutions #079
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집합 $S = \{1,\, 2,\, \ldots,\, 100\}$에 대하여, $A_1,\, A_2,\, \ldots,\, A_n$이 다음의 두 조건 임의의 서로 다른 $i,\, j \in [n]$에 대하여 $A_i \cup A_j \neq S$ 임의의 서로... Read more »
Problems and Solutions #078
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$n \times n$ 가역행렬(invertible matrix) $A$가 실수인 고유값만을 갖고, 다음 조건 \[ \tr(A^2) = \tr(A^3) = \tr(A^4) \] 을 만족한다고 한다. 이때 $\tr(A)$의 값을 구하여라. $ $
Problems and Solutions #077
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임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $mn$의 (10진법으로 전개했을 때의) 자릿수가 모두 $0$ 아니면 $7$이 되게끔 하는 적당한 양의 정수 $m \in \N$이 언제나 존재함을 증명하여라. 예를 들어 $n... Read more »
Problems and Solutions #076
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$2$차 정사각행렬 $A$가 $AB - BA = A$를 만족할 때, $A^2 = O$임을 증명 하여라. $ $
Problems and Solutions #075
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중심이 $(\sqrt{20},\, \sqrt{19})$인 원 위에 존재하는 유리수점의 개수는 많아야 하나임을 증명하여라. (여기서 유리수점이란 그 점의 $x$, $y$ 성분이 모두 유리수인 점을 뜻한다.) $ $
Problems and Solutions #074
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다음 $n$에 관한 식 \[ \sqrt{n + 20} + \sqrt{n - 19} \] 가 유리수가 되게 하는 모든 양의 정수 $n \in \N$을 구하여라. $ $
Problems and Solutions #073
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$a + \tfrac{1}{a} = 1$일 때, $a^{2019} + \tfrac{1}{a^{2019}}$의 값을 구하여라. $ $
Problems and Solutions #072
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다음 정적분을 계산하여라. \[ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1 + x^{\phi})^{\phi}} \,dx \] 여기서 $\phi$는 황금비(golden ratio), 즉, 방정식 $x^2 - x - 1 = 0$의 양수인 해이다. $ $