Problems and Solutions

Problems and Solutions #086

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양의 정수 $n$에 대하여 정의된 다음 수열 $a_n = \sqrt{24n+1}$은 ($2$와 $3$을 제외한) $5$ 이상의 모든 소수들의 수열을 부분수열로 가짐을 증명하여라. $ $

Problems and Solutions #084

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방정식 $x^3 = 1$의 세 근을 각각 $1,\, w,\, \bar{w}$라 하자. 이 때, 임의의 음이 아닌 정수 $n \geq 0$에 대하여 \[ 2^n + (-w)^n + (-\bar{w})^n \] 은 모두... Read more »

Problems and Solutions #083

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두 양항수열(positive sequence) $(a_n)_{n=1}^{\infty}$과 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치임을 증명하여라. 두 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{c_n}$과 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{b_n}$가 모두 수렴하게 하는 양항수열 $(c_n)_{n=1}^{\infty}$이 존재한다. 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{a_n}{b_n}}$가... Read more »

Problems and Solutions #082

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주어진 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $n$의 모든 (양의) 약수의 합이 $2n$과 같아질 때, 그러한 $n$을 완전수(perfect number)라 한다. 완전수의 예로는 $6,\, 28,\, 496,\, 8128,\, \ldots$등이 있다. 한 편,... Read more »

Problems and Solutions #080

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다음 네 조건을 모두 만족하는 실함수 $f: \R \to \R$을 구성하여라. $f$는 연속(continuous)이다. $f$는 전사함수(surjection)이지만 단사함수(injection)는 아니다. 임의의 유리수 $r \in \Q$에 대하여, $f(r) \in \Q$이다. 함수 $g : \Q... Read more »