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풀이 1. $5$ 이상의 소수 $p$를 $12$로 나눈 나머지를 생각해 보면 $p = 12m + k$, $k = 1,\, 5,\, 7,\, 11$의 형태여야 한다. 각각의 경우에 대하여 $p^2$이 가질 수 있는 값을 생각해 보면 \[ \begin{align*} (12m+1)^2 & = 144m^2 + 24m + 1 = 24(6m^2 + 1m) + 1 \\[5px] (12m+5)^2 & = 144m^2 + 120m + 25 = 24(6m^2 + 5m + 1) + 1 \\[5px] (12m+7)^2 & = 144m^2 + 168m + 49 = 24(6m^2 + 7m + 2) + 1 \\[5px] (12m+11)^2 & = 144m^2 + 264m + 121 = 24(6m^2 + 11m + 5) + 1 \end{align*} \] 따라서 각각의 경우 모두 적당한 양의 정수 $n$에 대하여 $p^2 = 24n + 1$의 형태이고, 따라서 $p = \sqrt{24n+1}$의 형태여야 함을 알 수 있다.$ $

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풀이 2. 먼저 $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$이 $24$의 배수임을 보이도록 하자. 우선 $p-1,\, p,\, p+1$ 중 하나는 $3$의 배수여야 하는데 $p$는 $3$의 배수가 아니므로, $p-1$과 $p+1$ 중 하나가 $3$의 배수, 즉, $(p-1)(p+1)$은 $3$의 배수이다. 또한 $p$는 홀수이므로, $p-1$와 $p+1$ 중 하나는 $2$의 배수이고 다른 하나는 $4$의 배수이다. 따라서 $(p-1)(p+1)$은 $8$의 배수이다. 즉, $(p-1)(p+1)$은 $3$의 배수이면서 동시에 $8$의 배수이므로 $24$의 배수임을 알 수 있다. 따라서 적당한 양의 정수 $n$에 대하여 $p^2 - 1 = 24n$으로 나타낼 수 있고 이를 정리하면 $p = \sqrt{24n+1}$를 얻는다. $ $